求导法则(一).doc

§3.2 求导法则（一）
教学内容
1.函数的和、差、积、商的求导法则；
2.反函数的求导法则；
3.复合函数的求导法则.
教学重点与难点
导数的运算法则及导数基本公式.

简要复习上节内容
1.导数的定义；
2.导数的定义的几种形式；
3.可导的充要条件；
4.函数可导与连续的关系；
5.导数的几何意义、物理意义.
一、导数的四则运算法则
设都在处可导，则有
①；
②； ；
③.
我们现在只证明②.
证 设则
=
=
=+=
例1 ，求，.
解 =， =.
例2 求的导数.
解 .
=.
二、反函数求导法
法则： 若单调、连续，在y处可导.且则它的反函数在对应点处可导，单调.且
证 由单调性当时，从而，又因为连续，当，，从而.
利用以上定理可以证明：
， ；
， .
三、复合函数求导法则
法则：设是由复合而成.若在处
可导， 而在处可导.则在处可导且
证 在处可导，则有， ，其中. 可以推得
①
用除以①式有，所以=.
这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形.
例3 求
解 为复合而成，所以==.
例4 求
解 由复合而成，所以=
注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程可直接写出结果.
例5
解 =.
例6
解 =.
例7
解 .
例8
解 .
例9 已知，求
法1：==！.
法2：.=100！
例10 设 且=0，证明：=0
证 ==，又因
==0，且，
故易知=0.
例11 设在上有界，，求
解 =.

小结
1.函数的和、差、积、商的求导法则；
2.反函数的求导法则；
3.复合函数的求导法则.
作业
作业: p103 8奇数题， 15奇数题；
预习：§3.2 P80 –86

§3.2 求导法则（二）
教学内容
1.隐函数的导数；
2.由参数方程所确定的函数的导数；
教学目的
1.熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；
2.掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；
3.熟练掌握对数求导法；
4.理解和会求相关变化率.
教学重点与难点
掌握隐函数与参数式所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率的计算.

复习上节内容
1.函数的和、差、积、商的求导法则；
2.反函数的求导法则；
3.复合函数的求导法则.
一、隐函数的导数
1. 隐函数的定义：
形如的函数为显函数.而由方程或 所确定的函数为隐函数
2. 隐函数求导法：将方程两端对求导（看成的函数），然后解出
例1 已知，求.
解： 从而.
例2 已知，求.
解： 则.
将代入原方程里得 所以.
3. 对数求导法（多用于求幂指函数与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导）
例3 ，求
解：,
.
所以
法2：，所以.
例4
解：,

所以 .
二、参数方程求导法
设参数方程为，, 显然若存在反函数则为的复合函数，若，可导，且，则由复合函数求导法则有：=，
例6 已知椭圆参数方程为，求椭圆在处的切线方程
解： 先求处所对应的椭圆上的点的坐标为，在点处切线的斜率,所以所求的切线方程为
.
例7 求三叶玫瑰线在处的切线方程
解：先将其化为参数方程 在处对应点为

所以所求的切线方程为.
小结
1.隐函数的求导法；
2.对数求导法；
3.由参数方程所确定的函数的导数的求法
作业
作业: p104 24，25，26；
§3.2 求导法则（三）
高阶导数
教学内容
函数的高阶导数；
教学目的
1. 会求函数的一阶二阶导数和简单函数的n阶导数；
2. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法.
教学重点与难点
抽象函数的一阶二阶导数的求法

复习上节内容
1.函数的和、差、积、商的求导法则；
2.反函数的求导法则；
3.复合函数的求导法则.
一、高阶导数的概念
我们知道的导函数仍为的函数，当然可以继续求导数.称的导数为的二阶导函数，记为，或、
类似的我们可以三阶、四阶……n阶导数，记为=，，
由此可见高阶导数的求导法为反复求导法
例1 ，求.
解 ，=0.
例2 证明，满足关系.
证 =，
===，
则.
二、n阶求导公式
例3 求的各阶导数
解：.
例4 已知，求.
解：
=
………………………………
同理可以推得
例5 ，求.
解：
,……

在求n阶导数的过程中.关键是找规律，最后归纳到一般.
例6 求的n阶导数
解：，，……，
.
特别地，当时，.
下面我们来导出和、差、积的n阶导数公式.
1. .
2. =.
其中，有点特别.事实上，

……………
=
此公式称为莱布尼茨公式.
例7 使用莱布尼茨公式计算的20阶导数
解：令，且，所以=++
=++ =.
例8 试从中，求出，
解：=== ，
==
=

小结
1 高阶导数的概念；
2.高阶导数的求法.
作业
作业: p104 21，22，23