相似图形解题方法指导11.doc

相似图形解题方法指导（三）
知识回顾 一网打尽
1.相似三角形
(1)三角形相似的条件：
① ；② ；③ .
2.如何寻找和发现相似三角形
两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
知识要点 基础练习
1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）； （2）； （3）∠A=∠A′ （4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（09新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

3．(09湖州)如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3
4.（09枣庄）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
5.（09滨州）如图所示，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（09重庆）锐角△ABC中，BC＝ 6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ ,

7.（09牡丹江)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．
8.（09孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
典型例题 方法指导
考点1 熟练掌握三角形相似的判定条件
例题1
【考题2－1】下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似
C．所有的等边三角形都相似D．所有的矩形都相似
【考题2－2】如图l－4－2，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
【考题2－3】如图l－4－3，D是△ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使△ACD与△ABC相似．你添加的条件是___________

变式练习 1
1．△ABC中，D是AB上的一点，再在 AC上取一点 E，使得△ADE与△ABC相似，则满足这样条件的E点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

2．厨房角柜的台面是三角形，如图l－4－4，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）
A． B． C． D．
3．如图 1－4－5，AD⊥BC于D，CE⊥AB 于E，交 AD于F，图中相似三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若△ABC与△A′B′C′相似，△ABC的周长为15，△△A′B′C′的周长为45，则△ABC和△A′B′C′的面积比为__________.
5．如图1－4－6，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′的位置，则BC′和BC之间的数量关系是___________.
6．梯形ABCD中，AB∥DC，CD=8，AB=12，S梯形ABCD=90，两腰的延长线相交于点M，则SΔMCD=___

考点2 灵活运用三角形相似的判定方法和性质解答问题
例题2
1、如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.
(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.
(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.

2、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.

变式练习2
1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)ΔABD与ΔDCB相似吗？请说明理由.
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.

2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC， Q是CD的中点.
ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？

3、已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.

证明等积式和比例式的方法归类：

考点3 当三角形相似但对应边的关系不明确时，怎么办？
例题3

如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.

变式练习3
D
如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4,CD=6,BC=14,P为BC上一点,试问BP为何值时, ΔAB与ΔPCD相似？
A
B
P
C

考点4 几何动点问题探究
例题4
如图RtΔABC中，∠C=90°, ∠A=60°,AB=12 cm,若点P从点B出发以2 cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1 cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒。解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP、AQ的长
（2）当t为何值时ΔAPQ是以PQ为底的等腰三角形
（3）当t为何值时PQ∥BC?

B
C
A
P
Q

变式练习4
如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

考点5 结点问题求线段的比
方法：过结点做平行线构造“A”型和“X”型
例题5
在ΔABC的边ABAC上分别取DE两点，使BD=CE，连接DE并延长交BC的延长线于F，求证：

变式练习5
如图，ΔABC中，AF:FD=1:3,BD=CD,求AE:EC

考点6 复杂的几何探究问题
例题6
如图6.5-14，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别交BD、AC于M、N.
（1）求证ME=NF（2）当EF向上平移到图6.5-15各个位置，其它条件不变时（1）的结论是否还成立，证明你的判断.
A
D
F
C
（图6.5-14）
E
M
N
B
A
D
F
C
E
(M、N）
B
A
B
C
D
M
N、
E
F
（图6.5-15）
A
D
F
C

E
M
B
N

变式练习6
(09武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：；
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；

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