期末复习讲义专题一.doc

期末专题一：一次函数与四边形
1、一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究．
解读信息：
（1）甲，乙两地之间的距离为
（2）线段AB的解析式为 线段OC的解析式为
问题解决：
（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，

(1)甲，乙两地之间的距离为 450 km；
(2)线段AB的解析式为: y1=450150x ,(0≤x≤3)；
   线段OC的解析式为: y2=75x      ,(0≤x≤6)；
(3)设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式：
   由（2）可以得出距离关系式：
   0≤x≤3时，快慢车都在行驶，y=│y1-y 2│=│450-225x│ ，(0≤x≤3)
   3≤x≤6时，快车已到站停止行驶，x=3时快车刚到站，两车距离为225 km，
              y=75x ,(3≤x≤6)
   函数图象： 

2、（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

3、如图已知一次函数y=-1/2x=b的图像经过点A(2,3)AB垂直于X轴，垂足为B连接OA设点P为直线y=-1/2x+b上的一点
且在第一象限内经过P作x轴的垂线垂足为Q若三角形POQ的面积=5/4三角形AOB的面积求点P的坐标

解：y=-0.5x+b过A（2，3），则b=4
∴y＝-0.5x+4
∵P在直线y＝-0.5x+4 上，设P（x, -0.5x+4）且SΔAOB=2×3/2=3
SΔPOQ=0.5x(-0.5x+4)=(5/4) ,SΔAOB=15/4
∴x²-8x+15=0
解得：x1=3,x2=5
故：P(3,2.5)或P(5,1.5)

4、（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
一次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
解答：
解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF==，
∴点B的坐标是（，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．
解得．
∴直线AB的解析式是y=x+4；
（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，

∴DP=AP=．
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=×=．
DG=BD•sin60°=×=．
∴OH=EG=，DH=
∴点D的坐标为（，）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，
则有，解得BG=，DG=；
∴OH=，DH=；
∴点D的坐标为（，）．
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，（舍去）
∴点P1的坐标为（，0）．
②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，
∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，，
∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．
③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴DH=﹣t﹣2．
∵△OPD的面积等于，
∴（﹣t）【﹣（2+t）】=，
解得（舍去），
∴点P4的坐标为（，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、
P4（，0）．

5、（2013济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，
∴==，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴==，
∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴8﹣3t=t，
解得：t=2，
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8﹣2t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴t=3t﹣8，
解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，
当t=﹣=时，
S矩形PEFQ的最大值为：=4，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴0≤t≤4，
当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．

6、（2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A．B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，当点P到达点A时，
DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，
S△AOD=4，
∴DO•AO=4，即（6﹣a）a＝4。
∴a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。
由图2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2。
∴A的坐标为2，0），D点坐标为（0，4）。
在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1。
∴MB=4﹣1＝3。∴。∴OM=2+4＝6。
∴B点坐标为（6，3）。
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD
=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，
∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。
联立①②，解得x=，y=。∴P（，）。
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。

解得，k=﹣。
∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。
【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。。

（2）设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。

（第7题）
解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。
∴。∴G点的坐标为（3，4－）。
（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，
在Rt△BFG中，，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2。∴E点的坐标为（0，4－2）。
又F点的坐标是（2，4），
∴， 解得。
∴直线EF的解析式为。
（3）存在。M点的坐标为（），（），（ ）。
【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。
（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。
（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状：
若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。
过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF，
∴M1H=GB=，即yM1=。
由直线EF解析式，求出。
∴M1（）。
②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。
仿照与①相同的办法，可求得M2（）。
③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。
过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，
则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8－。
代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。
∴M3（）。
综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：M1（），M2（），M3（ ）。

期末专题一：二次函数综合题
1、（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求bc的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题。
分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣2=，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．
解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=

②如图：
ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：m2﹣2m﹣2=，
解得：m1=，m2=，
∴P1（，），P2（，），
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
则有：n2﹣2n﹣2=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），
∴P3（，），
综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

2、（12分）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

解: (1)由题知: ……………………………………1 分
解得: ……………………………………………………………2分
∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分
(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )
或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分
(3)解法①：
过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )
∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a …………………………………………8 分
∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF
=( a＋3 )·(－－2a＋3) + (－－2a＋6)·（－a）……………………9 分
=………………………………………………………………10 分
=－+
∴ 当a =－时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．…………………………11 分
此时，点E 坐标为 (－，)……………………………………………………12分
解法②：
过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分
则S四边形BOCE = (3 + y )·(－x) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分
= ( y－x)= ( ) …………………………………10 分
= － +
∴ 当x =－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分
此时，点E 坐标为 (－，) ………………………

3、（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.

4、如图（十二）直线l的解析式为y＝－x+4,　它与x轴、y轴分相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0之间的函数关系；
x
y
l
m
O
A
M
N
B
P
x
y
l
m
O
A
M
N
B
P
E
F
图十二
　　　‚在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2 为△OAB的面积的？　　　　　 　　　　　　　　

解：（1）当时，；当时，．； 2分
（2），； 4分
（3）①当时，易知点在的外面，则点的坐标为,
点的坐标满足即，
同理，则， 6分
所以
； 8分
②当时，，
解得两个都不合题意，舍去； 10分
当时，，解得，
综上得，当或时，为的面积的． 12分

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