云南省昆明市第三中学2016届高三下学期第一次月考数学(理).doc

云南省昆明市第三中学2016届高三下学期第一次月考数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在121个学生中，一年级有25人，二年级有36人，三年级有60个，现抽取容量为20的样本．用系统抽样法：先随机去掉一人，再从剩余人员中抽取容量为20的样本，整个过程中每个体被抽取到的概率是（ ）
A． B． C． D．不能确定，与去掉的人有关
2．集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调增的函数是（ ）
A． B． C． D．

5．某程序框图如右图所示，当输出值为时，则输出的值为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8

6．实数满足，若的最大值为13，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
8．在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B．160 C． D．60

11．椭圆的上下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若两个函数图象的距离小于1，称这两个函数互为“可及函数”．给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．将答案填在答题纸上）
13．展开式中项的系数为______．
14．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______．
15．设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数，如在排列中，5的顺序数为的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为______．
16．已知定义在上的函数、满足，且，，有穷数列的前项和等于，则等于______．
三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和和通项满足，数列中，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求证：．

18．（本小题满分12分）
某厨具是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（1）生产一个该厨具，求产品为二等品的概率；
（2）生产一个该厨具，设为三道加工工序中产品合格的工序数，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）
棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面．
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置．

20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，且过点，四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：四边形的面积为定值．

21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（2）若、，使成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到曲线向左平移1个单位，得到曲线．求曲线上的点到直线的距离的最小值．

23．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

24．如图，已知是中边上的高，以为直径的分别交、于点、，点是的中点．．
（1）求证：是的切线；
（2）求值．

云南省昆明市第三中学2016届高三下学期第一次月考
数学（理）答案
一、选择题
1-5：CDCBC 6-10：BCCDA 11-12：BD
二、填空题
13． 14．2 15．144种 16．5
三、解答题
17．解：（1）由，得，
当时，，
∵，∴
而，∴

∴是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
（2），设，则
，
，
由错位相减，化简得：
．
18．解：（1）产品为二等品的概率．
（2）由题意得，
，
，
，
∴， ……9分
∴的分布列如下：

0
1
2
3

∴ ……12分
19．解：（1）证明：连接交于，
∵四边形为菱形，∴
∵平面平面，
∴在平面内的射影落在上，
∴为在平面内的射影，
∴．
（2）作于，连接，则，
故为二面角的平面角，
∵，∴，
而，∴，
∴二面角的平面角的余弦值是．
（3）存在，点在的延长线上且，证明如下：
延长到使，连接，则，∴．
又平面，平面，
∴平面．
20．解：（1）由题意可得，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）（ⅰ）设，不妨设．
设，∵，∴
可得直线、的方程分别为．
联立．
解得．
∴，
当且仅当时取等号．
可知：当时，有最大值2．
当，有最小值．
（ⅱ）由椭圆的对称性可知．
∴

，
∴四边形的面积为定值．
21．解：（1）因在上为减函数，
故在上恒成立，
又，
故当，即时，，
所以，于是，故的最小值为．
（2）命题“若，使成立”等价于“当时，有”，
由（1），当时，，所以，
问题等价于：“当时，有”．
①当时，由（1），在上为减函数，
则，故；
②当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
（ⅰ）若，即在上恒成立，故在上为增函数，
于是，，不合题意；
（ⅱ）若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，为减函数；当时，为增函数；
所以，，
所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得．
22．解：（1）曲线的直角坐标方程为：，即．
直线的普通方程为． ………………4分
（2）将曲线上的所有点的横坐标缩为原来的，得
，即，
再将所得曲线向左平移1个单位，得：，
又曲线的参数方程为（为参数），
设曲线上任一点，
则（其中），
所以点到直线的距离的最小值为．
23．解：（1）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或
解得函数的定义域为；
（2）不等式即，
∵时，恒有
∵不等式解集是，
∴，
∴的取值范围是．
24．（1）证明：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵为中点，
∴，
∴，
∵是中边上的高，
∴，
∴，
∴是的切线；

（2）解：连接，如图所示：
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：，
∴．