1、《线性代数》第二章习题解答
1． 解：（1）
（2）
2．解：（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
3．解：，
(1)
（2）
(3)
4．解：从的线性变换可表示为：，其中；从的线性变换可表示为：，其中，所以从的线性变换可表示为：
所以，从的线性变换为：
5．解：（1）－3＝
(2)
6．（1）∵
∴要使，则必须
(2) ∵
∴要使，则必须 ，即
(3) 当时，用数学归纳法证明
①时，显然
时，，
所以
2、 ②设时，有，则时
可见，时，也有
所以，当时，对一切正整数都有
7．解：(1)
(2) ∵
∴
(3) ∵ ，
∴
8．证明：∵、为对称矩阵，∴，
(1) ∵
∴ 是对称矩阵
(2) ∵
∴ 是对称矩阵
(3) ∵，
∴
∴
∴ 是对称矩阵
9．解：(1) ∵
∴
(2) ∵
∴
(3) ∵ ∴可逆
又∵， ，
， ，
， ，
∴
(4)
3、
(5)
(6) 把分块为，
其中，，，
则，∴矩阵可逆。根据课本P44的例2可知，
又∵，
∴
∴
10．解：(1) 由得，
(2) 由得，
(3)由得，
11．解：(1) ∵方程组用矩阵形式可表示为：
∴
∴ 方程组的解为
(2) ∵方程组用矩阵形式可表示为：
∴
∴ 方程组的解为
12．证明：
(1)∵ ∴
∴ ∴可逆，且
(2)∵ ∴
∴ ∴可逆，且
13．证明：
∵
∴
4、∴可逆，且
14．解：∵ ∴
又∵且为四阶行列式
∴
15．证明：∵ 为同阶的可逆方阵，且，
∴ 两边左乘得
两边右乘得
16．证明：
(1) 设 ， 则 ，
其中是代数余子式
∴， ，
∴
(2)若，则可逆，且 ，
∴
∴
又∵，
∴
(3) 设，则 ，
其中是代数余子式
则，
由于矩阵中任一元素的代数余子式为
∴
(4) ∵
∴
∴
(5) ∵，且、可逆，
∴两边左乘得，
17．解：∵，
∴ 可逆.
又∵ ， ∴，两边左乘得
分别计算，
∴
18．解：∵， ∴，
∵，∴
∴
又∵
∴
19．∵， ∴
又∵ ，∴
又∵， ∴，
∴
20．解：∵，其中，
∴， ∴
21．解：(1) 设，则
∴
∴
(2) 设，则
∴
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