高二立体几何基础测试题.doc

高二立体几何基础测试题
一、选择题
1.如图7-20，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

2.如图7-21，正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF为异面直线A1D和AC的公垂线，则直线EF与BD1的关系是（ ）

A.异面直线 B.平行 C.相交且垂直 D.相交且不垂直
3.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。
其中正确命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.a、b是异面直线，①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a、b都垂直;
④至少有一个平面分别与a、b都平行.其中正确的命题个数是：（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：（1）与a是异面直线；（2）与a所成的角为定值θ；（3）与a的距离为定值d。那么，这样的直线b有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

6.如图7-22，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°

7.如图7-23，立体图形P—ABCD的底面ABCD是一个正方形，PD垂直于ABCD，则这个立体图形的五个面中，互相垂直的平面共有（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
8.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：
①若a∥α,b∥α,则a∥b; ②若a∥α,a∥β，则α∥β;
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9.若有平面α与β，且α∩β＝l, α⊥β，P∈α，P l，则下列命题中的假命题为（ ）
A.过点P且垂直于α的直线平行于β B.过点P且垂直于l的平面垂直于β
C.过点P且垂直于β的直线在α内 D.过点P且垂直于l的直线在α内
10.过正方形ABCD的顶点A作线段A′A⊥平面ABCD。若A′A＝AB，则平面A′AB与平面A′CD所成角的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.已知相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内，若命题p:l、m中至少有一条与β相交；命题q: α与β相交，则p是q的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.不充分也不必要条件
12.如图7-24，PA⊥⊙O所在平面，AB为底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，∠CAB＝α，∠PBA＝θ，∠CPB＝β，则（ ）
A.cosθ·sinα＝sinβ B.sinθ·sinβ＝sinα
C.cosθ·cosα＝cosβ D.cosθ·sinα＝cosβ

二、填空题
13.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是 。
14.在平面a内有一个正三角形ABC，以BC边为轴把△ABC旋转θ角，θ∈（0，），得到△A′BC，当θ＝ 时，△A′BC在平面a内的射影是直角三角形。
15.已知，正方体ABCD——A1B1C1D1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 （注：只需任意写一个）。
16.如图7-25，P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点。且PO⊥平面ABCD，当四边形ABCD具有条件 时，点P到四边形四条边的距离相等（注：填上你认为正确的一种条件即可。不必考虑所有可能的情况。）

三、解答题
17.在如图7-26的三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝1，PC＝BC，PB和平面ABC所成的角为30°。
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小，并说明理由；
（3）求AB的中点M到直线PC的距离。

18.如图7-27，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D。
（1）求证：A1C⊥平面AEF；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与两个平面所成的角相等）
试根据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小。（用反三角函数值表示）

19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。
（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；
（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论。

20.如图7-29，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝。
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。

21.如图7-30，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于△ABC的高CD上。AB＝a,VC与AB之间的距离为h，M∈VC。
（1）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；
（2）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；
（3）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0<θ<），求点M到平面ABC的距离。

22.如图7-31，已知矩形ABCD，AB＝2AD＝2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图7-32）。
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE；
（3）求异面直线AD′与BC所成的角。

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