高三数学第一轮复习：数列、等差数列(理)人教版.doc

高三数学第一轮复习：数列、等差数列（理）人教版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
数列、等差数列

二. 本周教学重、难点：
1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2. 理解等差数列的有关概念；掌握等差数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。

【典型例题】
[例1] 根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：
（1）（）
（2）
（3）
解：
（1）∵ ∴
∴

（2）方法一：∵
∴
方法二：由题意知对一切自然数成立
∴
∴
（3）∵ ∴
∴ 是首项为，公比为的等比数列
∴ ∴

[例2] 已知函数
（1）求的反函数；
（2）设（），求；
（3）设，是否存在最小正整数，使得对任意，有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：
（1）设 ∵
∴
即
（2）∵ ∴
∴ 是公差为4的等差数列 ∵
∴
∵ ∴
（3），由，得
设
∵ 在上是减函数
∴ 的最大值是
∴ ，存在最小正整数，使对任意有成立。

[例3] 已知函数，数列满足
（1）求数列的通项公式
（2）求证：数列是递减数列。
解：（1）∵ ，
∴ ，（看成关于的方程）
∴ ，
∵ ∴
（2）证明：∵
又 ∵ ∴ ，数列是递减数列

[例4] 已知数列是等差数列，其前项和为，，。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是正整数，且，证明
解：
（1）设等差数列的公差是，依题意，得

解得 ∴ 数列的通项公式为

（2）证明：∵
∴
∵

∵ ∴
∴

[例5] 已知数列中，（），数列满足。
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由。
（1）证明：
∵ ， 而
∴ （且），
∴ 是首项为，公差的等差数列
（2）解：由（1）得，则
设函数，则
∴ 在区间和内为减函数
∴ 当时，，当时，
且
∴ 的最小值为，最大值为

[例6] 已知等比数列的各项均为正数，公比，数列满足，，且（）
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项的和。
解：（1）由已知式得 ∵ 是公比为的等比数列，等式可化为

∵ ∴
∴ ，即
∴ 为常数
即是等差数列，设公差为，则
解得 ∴
（2）设前项和为，
∵ 当且仅当时
∴

[例7] 对于数列，有，且，，求：
（1）的值；

（2）数列的通项公式；
（3）使的最小的正整数的值，并说明理由。
解：（1），又=4
∴
（2）当时，

当时， ∴
（3），即，
令，时，
当且为正整数时，，为递增数列
当且为正整数时，，为递减数列
当时，
当时，
使的最小的正整数的值为11

[例8] 数列中，，当时，其前项和满足
（1）求的表达式；
（2）设，求数列的前项和。
解：（1）当时，，即
∴ ∴ 数列是公差为2的等差数列，其首项
∴ ，从而
（2）

【模拟试题】
一. 选择题：
1. 在数列中，，则等于（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 2
2. 设是等差数列的前项和，若，则等于（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 已知数列为等差数列，且，，则
等于（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
4. 已知数列的前项和且，则等于（ ）
A. 16 B. 4 C. 8 D. 不确定
5. 已知数列满足，（），则等于（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A. 4009 B. 4010 C. 4011 D. 4012
7. 设数列、都是等差数列，且，，，那么由所组成的数列的第37项的值为（ ）
A. 0 B. 37 C. 100 D.
8. 等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ ）
A. 160 B. 180 C. 200 D. 220

二. 解析题：
1. 已知数列，其中，
，数列的前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式。
2. 设等差数列的前项和为，已知，，。
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由。
3. 设是等差数列，，已知，且，求等差数列的通项。

【试题答案】
一.
1. A
解析：由已知，
∴
2. A
解析：（1）∵ ，
∴ ，故答案选A。
3. C
解析：公差，
则
∴ ，
则
∴ ，故C正确。
4. C
解析：因为是关于的二次函数形式，所以为等差数列
又因为，所以
5. B
解析：由递推公式计算得：，所以数列的周期为3。因为，所以
6. B
解析：，
∴

故最大自然数是4010。
7. C
解析：∵ 、为等差数列，∴ 也为等差数列，设，则，而，故，∴ 。
8. B
解析：由，，
相加得
即
∴ ∴

二.
1. 解析：（1），
累加得
∴ ，则
或者用累乘得
（2）∵ ∴
而，当时，时也适合
∴ 数列的通项公式为
2. 解析：
（1）依题意有
解之，得公差的取值范围为
（2）由可知，因此，在中为最大值的条件为且，即
∵ ∴ ∵ ∴
∵ ∴ ，得
∵ 是正整数 ∴ ，即在中，最大
3. 解：设等差数列的公差为，则
由题设有，于是
由，得，解之得
将代入已知条件，，解之得，或，
∴ ，或，
当，时，
当，时，