山西省2013届高考数学一轮复习单元测试-三角恒等变换.doc

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：三角恒等变换
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设5π＜θ＜6π，cos＝a，那么sin等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－
【答案】B
2．把sin2θ＋cos(－2θ)－sincos(＋2θ)化简，可得(　　)
A．sin2θ B．－sin2θ
C．cos2θ D．－cos2θ
【答案】A
3． 代数式的值为 ( ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．函数y＝2cos2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
6．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．已知cosα＝，且π<α<2π，则tan等于(　　)
A．－ B．
C．－或 D．－3
【答案】A
8． 如果那么的值是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．函数f(x)＝sin4x－cos4x＋2的周期和最大值为(　　)
A．2π　3 B．2π　2
C．π　3
D．π　2
【答案】C
10．下列等式错误的是(　　)
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB
D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB
【答案】D
11．已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则cos的值为(　　)
A． B．－
C．± D．－
【答案】B
12．若sinθ＋cosθ＝，则tan的值是(　　)
A．2－ B．－2－
C．2＋ D．－2＋
【答案】B

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若sin(+α)= ,则cos(-2α)等于_______.
【答案】
14．化简 (<θ<2π)＝______.
【答案】sin
15．给出下列四个命题：
①f(x)＝sin的对称轴为x＝＋，k∈Z；
②函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为2；
③函数f(x)＝sin xcos x－1的周期为2π；
④函数f(x)＝sin在上是增函数．
其中正确命题的个数为________．
【答案】2
16．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
【答案】1

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】由题意知AB＝53＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30)°＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
答：救援船到达D点需要1小时．
18．

【答案】

19．已知函数f(x)=sin(2x+ )-cos(2x+ )+2cos2x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值及相应x的值.
【答案】(1)f()=sin(2×+)-cos(2×+ )+2cos2=sin-
cos +1+cos
=
(2)∵f(x)=sin(2x+)-cos(2x+)+2cos2x
=sin2xcos+cos2xsin-cos2xcos+sin2xsin+cos2x+1
=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
当sin(2x+)=1时，f(x)max=2+1=3,
此时，2x+=2kπ+ (k∈Z),即x=kπ+(k∈Z).
20．已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程．
【答案】(1)f(x)＝(1＋cos2ωx)＋sin2ωx
＝＋sin．
因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1.
所以f(x)＝sin＋，
所以f＝－．
(2)分别由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以，函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)；
函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝π＋(k∈Z)．
所以f(x)图象的对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)．
21．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜．
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
【答案】(1)由cosα＝，0＜α＜，得
sinα＝＝＝，
∴tanα＝＝×＝4，
于是tan2α＝＝＝－．
(2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜，
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝ ＝，
由β＝α－(α－β)，且sinα＝得
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又∵0＜β＜，所以β＝．
22．已知函数．
(1）求函数的最大值并求出此时的值；
(2）若，求的值．
【答案】（1）
当，即时，取得最大值为.
(2）令时，得.

7
用心 爱心 专心