1、第8章 平面解析几何
一、填空题
1（兰州诊断）如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及
其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。
【答案】y2=3x
【解析】设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
所以∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，
而，
所以，所以抛物线的方程为y2=3x。
2. （赣州联考）过椭圆C：的左顶点A且
2、斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 。
3 （海淀期末）双曲线的离心率为_______.
4 （海淀期末）已知点是抛物线:的焦点，则_______.
5 （普陀调研）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，若经过的直线与椭圆相交于、两点，则△的周长等于 .
6 （朝阳期末）直线：被圆截得的弦的长是 .
7 （海淀期末）已知直线过双曲线的左焦点,且与以实轴为直径的圆相切,若直线与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是_________.
8（朝阳期
3、末）直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．
9 【双鸭山市第一中学高三月考】过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为 .
10.【昆明第一中学高三开学考试】 已知是双曲线的右焦点，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
二、解答题
11.【大庆铁人中学高三第三次阶段考试】在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若已知点P（3,2），过点P作圆O的切线，求切线的方程。
12.【宁夏银川一中高三第五次月考】已知圆C：，直线过定点A
4、 (1，0).
（1）若与圆C相切，求的方程；
（2）若与圆C相交于P、Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）或（2）或
13. （朝阳期末）已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．
14. （朝阳期末）（本题满分14分）
已知椭圆两焦点坐标分别为,，一个顶点为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
5、
15 （海淀期末）（本小题共14分）
已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.
16.（安阳第一次调研）（本小题共14分）
已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在圆：上.
（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【解析】
17. （赣州联考） (13分)如图，设F(－c,
6、 0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。
①证明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面积的最大值。
18 （赣州联考）(13分)已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA, MB交椭圆于A, B两点，设两直线的斜率分别为k1, k2, 且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点(―1,
7、―1).
【解析】
19. （青岛期末考试）（本小题满分13分）
已知动圆C与圆相外切，与圆相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（I）求轨迹T的方程；
(Ⅱ)已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线：恒过定点．
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义可知点C的轨迹T是椭圆，其方程是.
（Ⅱ）将代入椭圆方程得：．
代入（*式）得：，
或都满足， ……………………12分
由于直线：与x轴的交点为（），
当时，直线恒过定点，不合题意舍去，
，直线：恒过定点．………………………13分
考点：椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.
20 （普陀调研）（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知点，点在曲线：上.
（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；
（2）求的最小值.
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