2013年高三数学一轮复习-第四章第3课时知能演练轻松闯关-新人教版.doc

2013年高三数学一轮复习 第四章第3课时知能演练轻松闯关 新人教版

1．已知a、b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|，∴|a|2－2|a|2cosθ＝0，解得 cosθ＝，即a与b的夹角θ为.故选B.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
解析：选D.不妨设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，
a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，
则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；对于c⊥(a＋b)，
则有3m－n＝0，解得m＝－，n＝－，
所以c＝(－，－)．
3．已知点A(1,2)、B(3,4)、C(－2,2)、D(－3,5)，则向量在向量上的投影为________．
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，
则||cos〈，〉＝＝＝.
答案：
4．(2011·高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
答案：－

一、选择题
1．设向量a＝(20)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　 B．a·b＝
C．a∥b D．(a－b)⊥b
解析：选D.|a|＝2，|b|＝，|a|≠|b|，A项错误；a·b＝(2,0)·(1,1)＝2≠，B项错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，且2×1－0×1≠0，所以C项错误；因为(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，选D.
2．(2012·洛阳调研)已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：选D.由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝5，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.由a＝(1,3)，b＝(－2，－6)得b＝－2a，因此(a＋b)·c＝－a·c＝5，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因此θ＝120°.
4．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B.由题意可知，·＝(＋)·
＝·＋·＝0＋×3×3cos45°＝3.
5．(2012·石家庄调研)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又||＝||，则向量在向量方向上的投影为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C.由2 ＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O，B，C三点共线．
又||＝||＝1，
故向量在向量方向上的投影为||cos＝.
二、填空题
6．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________．解析：由已知＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0⊥，故△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
7．(2011·高考江西卷)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.
又因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，
所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.
答案：－6
8.(2010·高考天津卷)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.
解析：·
＝(＋)·
＝[＋(－1)]·

＝[＋(－1)(－)]·
＝2＋(－1)2－(－1)·＝1＋－1＝.
答案：
三、解答题
9．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
解：由题意知△ABC为直角三角形，⊥，
∴·＝0，cos∠BAC＝，cos∠BCA＝，
∴和夹角的余弦值为－，和夹角的余弦值为－，
∴·＋·＋·
＝20×(－)＋15×(－)＝－25.
10．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
解：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
故知3(1－m)≠2－m，
∴实数m≠时，满足条件．

(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，
则⊥，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，
解得m＝.
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值为4时，求·.
解：(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)，或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，
∵与a共线，
∴t＝－2ksinθ＋16，
tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－)2＋.
∵k>4，∴1>>0，
∴当sinθ＝时，tsinθ取最大值为.
由＝4，得k＝8，
此时θ＝，＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
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