1、,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上一页,下一页,主 页,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上一页,下一页,主 页,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,18.3 几何应用,一 平面曲线切线与法线,二.空间曲线切线与法平面,三 曲面切平面与法线,四 小结,第1页,问题提出,我们能够利用偏导数来确定空间曲线,切向量和空间曲面法向量,第2页,切线方程为,法线方程为,某邻域内满足隐函数定
2、理条件，则,一.平面曲线切线与法线,第3页,求曲线上过点 切线方程，这里,设曲线用参数方程表示为,二.空间曲线切线与法平面,第4页,因为切线是割线极限位置，从而考虑经过点,和点 割线方程,在上式各端分母都除以,第5页,因为切线是割线极限位置，在上式中令 取极限，就得到曲线在点 切线方程：,由此可见，曲线在点 切线一组方向数是,第6页,曲线在点 法平面就是过 点且与该点切线垂直平面，于是切线方向数就是法平面法方向数，从而过,点法平面方程是,假如曲线方程表示为,能够把它写成以下以 为参数参数方程,于是可得曲线在点 切线方程和法平面方程以下：,第7页,普通地，假如曲线表示为两个曲面,交线：,设 ，设
3、上述方程组在点 确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时轻易把它化成刚才讨论过情形：,第8页,从而可得曲线在点 切线方程：,和法平面方程,第9页,解：,在（1，1，1）点对应参数为 t=1,切线方程：,法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0,即：x+2 y+3 z=8,例1 求曲线 在点 处切线及法平面方程。,第10页,例2、求曲线 在点（1，-2，1）处切线及法平面方程。,法平面方程：x-z=0,切线方程：,第11页,例 求曲线,在点 切线与法平面方程,解,在曲线方程中分别对 求导，得,对应于点 参数 ，于是,从而切线方程为,法平面方程为,第12页,例 求两柱面,交线在点：,
4、处切线方程。,第13页,解,在方程组,中分别对 求导数，得,于是,从而在点 有：,第14页,所以切线方程为：,即,此直线可看作是 平面与平面 交线。,第15页,三 曲面切平面与法线,设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,第16页,曲线在M处切向量,第17页,上式说明向量 与切线向量,正交。,从而曲面在 点切平面方程为,因为 任意性，可见曲面上过 任一条曲线 在该点切线都与 正交，所以这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点切平面，而 就是切平面法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,第18页,过 点与切平面垂直直线，称为曲面在 点
5、法线，其方程为,该法线一组方向数为：,第19页,总而言之若曲面方程为,则该曲面在 点切平面方程为,过 点法线方程为,第20页,设 分别为曲面在 点法线与 轴正向之间夹角，那末在 点法线方向余弦为,第21页,若曲面方程为,轻易把它化成刚才讨论过情形：,于是曲面在 （这里 ）点切平面方程为,法线方程为,第22页,若曲面方程为参数形式：,假如由方程组 能够确定两个函数：,于是能够将 看成 函数，从而能够将问题化为刚才已经讨论过情形。,代入方程 ，得,所以需分别计算 对 偏导数。,第23页,将 分别对 求导，注意到 为,函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,第24页,法线方程,于是曲面在 点切平面方程
6、为,第25页,例 1 求球面 在点 切平面及法线方程,解,设,则,所以在点 处 球面切平面方程为,法线方程,第26页,曲面夹角,两个曲面在交线上某点处两个法线夹角称为这两个曲,面在该点夹角。,假如两个曲面在该点夹角等于 90 度，则称这两个曲面在,该点正交。若两曲面在交线每一点都正交，则称这两曲,面为正交曲面。,例 2 证实对任意常数 ，球面 与锥,面 是正交。,第27页,即,证实,球面 法线方向数为,锥面 法线方向数为,在两曲面交线上任一点 处，两法向量内积,因 在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥面正交。,第28页,解,切平面方程为,法线方程为,第29页,解,令,切平面方程,法线方程,第30页,解,设 为曲面上切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,第31页,因为 是曲面上切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,第32页,2,空间曲线切线与法平面,3 曲面切平面与法线,四 小结,1 平面曲线切线与法线,第33页,
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