陕西省师大附中2012届高三第四次模拟试题数学理.doc

陕西师大附中2012级模考（4）数学试卷（理科）
一．选择题（本题共10小题，满分共50分）
1.设是虚数单位，则复数 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
2．右图是一几何体的三视图(单位:),则这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.下列推理是归纳推理的是 （ ）
A．为两个定点，动点满足，，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；
B．由，求出猜想出数列的前项和的表达式；
C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积；
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇。
4. 同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是 （ ）
A． B． C． D.
5.已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为( )
A．2 B．-2 C．2或-2 D．或
6.若输入数据 ，执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为（ ）
是
结束
否
开始
输入
S=0,i=1
i n
输出S

A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
7.已知，则二项式的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．-10 C．80 D．-80
8.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数． 例如，．那么“”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件
9.设直线与函数，的图像分别交于点，则当达到最小值时的值为 （ ）
A． 1 B．   C．    D．
10.设（其中），则大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本题共5小题，满分共25分）
11．已知，且的最大值为，则 ．
12.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 ．
13.将一根长为10厘米的铁丝用剪刀剪成两段，再将每一段剪成相等的两段，然后将剪开的4段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6的概率等于 .
14.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 ．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数那么实数的取值范围是 .
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的动点到直线距离的最大值为 ．
B.（不等式选讲选做题）若存在实数满足不等式,则实数的取值范围为 ．
C．（几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，弦于点．已知的半径为3，，则 ． ．
三． 解答题（本题共6小题，满分共75分）
16.（本小题满分12分）已知分别为的三边所对的角，向量，，且
（1）求角的大小；（2）若成等差数列，且，求边的长.
17. （本小题满分12分） 已知数列，其中，数列的前项和，数列满足．
（1）求数列的通项公式； （2）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；
18.（本小题满分12分）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．

19.（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．
20.（本小题满分13分）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
（1）证明：直线的斜率互为相反数； （2）求面积的最小值；
(3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线的斜率是否互为相反数？ ②面积的最小值是多少？
21.（本小题满分14分）已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求函数的单调区间；（3）当，且时，证明：．
陕西师大附中2012级模考数学试题参考答案（理科）
一、选择题（每小题5分,共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
C
A
D
A
C
D
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 12. 13． 14．，
15，A． B. C.
三．解答题：
16. 解：（I） …………2分

…………3分
又 …………6分
（II）由成等差数列，得
由正弦定理得

………10分
由余弦定理
…………12分
17. （1）因为．
当时，；
所以．
所以．即．
又，
所以．
当时，上式成立．
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，故； ----- 6分
（2）由⑴知，．
则，
假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立，
即恒成立，由，解得，
所以存在自然数，使得对于任意，
有此时，的最小值为16． ---- 12分
18.

（1）在正方形中，因为，
所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，，
所以，所以．
因为四边形为正方形，，
所以而，
所以平面．----------- 4分
（2）因为平面，所以为四棱锥的高．
因为四边形为直角梯形，且，，
所以梯形的面积为．
所以四棱锥的体积．-----------8分
(3)由(1)(2)可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为．
则，即．
令，则．所以．
显然平面的一个法向量为．
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成角的余弦值为． ------- 12分
19. （1）记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件．
由题意，得
答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是 ………5分
（2）由题意的可能有取值为0，1，2，3，且
，
．
，
．
所以的分布列为

0
1
2
3

的数学期望．……12分
20.（1）设直线的方程为．
由 可得 ．
设，则．-------3分
∴ ∴

．
又当垂直于轴时，点关于轴，显然．
综上，． ----------6分
（2）=．
当垂直于轴时，．
∴面积的最小值等于． -----------11分
（3）推测：①；
②面积的最小值为． ----------- 13分
21.（1）函数的定义域为，．
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即．--------- 4分
（2）由于．
当时，对于，有在定义域上恒成立，
即在上是增函数．
当时，由，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．----------- 10分
(3)当时，，．
令．
．
当时，，在单调递减．
又，所以在恒为负．------- 12分
所以当时，．
即．
故当，且时，成立．--------- 14分