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垂径定理的教学设计

一、教学内容分析
 本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
 二、教学目标
 知识和技能：
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
过程和方法：
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育
三、 学习者特征分析
   1、一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。
2、初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
3、信息素养：大部分学生的信息素养一般。
 四、知识点学习目标描述
知识点编  号
学 习
目 标
 具     体     描     述     语     句

1

感知
 让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.

2

理解
 学生通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识

3

理解
 能通过教师的引导对上述的猜想进行证明，并通过观察定理的变式图形加深对定理的理解和掌握
4

应用
 通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用
5
应用
 引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力
6
理解
 师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识
（一）教学重点和难点
 项    目
 内       容
 解     决     措     施
教学重点
 垂径定理及其应用
通过动手操作，对比已有的知识，从一般到特殊的方法让学生经历了动手操作、观察、猜想、归纳等方法
教学难点
 垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.
通过学生动手做“找圆心”的游戏再利用多媒体播放整个折叠过程
 （二）教学环境要求
    1．每个学生准备若干张圆形纸片；
2．教师自制的多媒体课件；
3．上课环境为多媒体大屏幕环境。
 （三）教学媒体（资源）选择
知识点编  号
 学习
目标
 媒体
类型
媒体内容要点
教学作用
使用方式
所 得 结 论
占用
时间
 媒体来源
 1
 感知
图片
 欣赏图片

i

g
 感知赵州桥
 1分钟
 下载
 2
 理解
圆形
纸片
 动手折叠纸片及教师提出的问题

a

f
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴
 3分钟
自制
    3
 理解
 图片
文本
 图片的折叠演示得出定理的猜想
  c
  f
 得出定理
 3分钟
 自制
   ①媒体在教学中的作用分为：a.提供事实，建立经验；b.创设情境，引发动机；c.举例验证，建立概念；d.提供示范，正确操作；e.呈现过程，形成表象；f.演绎原理，启发思维；g.设难置疑，引起思辨；h.展示事例，开阔视野；i.欣赏审美，陶冶情操；j.归纳总结，复习巩固；k.自定义。
②媒体的使用方式包括：a.设疑—播放—讲解；b.设疑—播放—讨论；c.讲解—播放—概括；d.讲解—播放—举例；e.播放—提问—讲解；f.播放—讨论—总结；g.边播放、边讲解；h. 边播放、边议论；i.学习者自己操作媒体进行学习；j.自定义。
（四）板书设计
 一、课题：垂径定理
1、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）cd过圆心（2）cd ⊥ab于e
则（a）ae=be（b）ad=bd（c）ac=bc
2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）cd过圆心（2）ae=be（ab不是直径）则（a）cd ⊥ab于e (b）ad=bd（c）ac=bc
二、垂径定理的应用：
（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）
（2）解决某些实际问题（如拱桥等）——强化应用意识。
（3）常用的辅助线：（1）作半径；   （2）过圆心作弦的垂线段。
（4）常用解法：    （1）勾股定理 ；（2）解直角三角形
（五）教学策略阐述
   1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。
（六）课堂教学过程结构设计（本栏为课堂教学设计的重点，应详细阐述并绘出流程图）
 教 学
环 节
 教师的活动
学生的活动
教 学 媒 体（资源）
 设计意图、依据

一、情景导入，激疑引趣

 1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。
2该实例中建立与本课题密切有关的数学问题
 聆听背景介绍和欣赏石拱桥的图形，并思考教师提出的问题

挂图
 以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的思考.使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,将实际问题数学化,可让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.

二、尝试诱导，发现定理

 1、活动1：让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？
2、教师演示线段ab的运动变换。
3、让学生大胆提出猜想
   学生通过找圆心的游戏复习了圆的轴对称性
学生通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识
   利用多媒体播放折叠过程和线段ab的运动变换过程
    教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性，通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经历了由特殊到一般的探索过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础

三、引导探究，证明定理

  教师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面寻找证明思路，然后利用叠合法即可证出。
根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

让学生观察图形（如图4(a)~(d)）中，ab是⊙o的弦，cd是⊙o的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
  学生在教师的引导下进行定理的证明
根据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳
学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解

1、在学生动手操作—折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，
目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。
2、让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式
3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。

四、例题示范，变式练习

 1、教师出示例题：例1 、 如图，已知在⊙o中，弦ab的长8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.
讲完例1后，教师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？
 2、例2  、在例1图形的基础上，以⊙o的圆心再画一个圆交弦ab于c、d，则ab与cd可能存在的关系？试证明
教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
   在教师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题
把握解决此类问题的关键点

   将例2作为例1的延伸，渗透了从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法。

五、巩固练习  化疑解难

   教师出示课前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。
      赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？

学生独立思考，当堂练习

    数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。

六、课堂回顾  画龙点睛
 通过本节课的学习你有哪些想法和收获？

小组讨论后师生共同小结

   师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。

七、课后作业
    结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，

    及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。
（七） 个性化教学
     为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，
选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽ab=60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m是否需要采取紧急措施？请说明问题
为需要帮助的学生所做的调整:教师参与到讨论当中，做弱势小组的组织者和指导者
（八） 形成性检测
 知识点
编  号
 学习
目标
 检　　测　　题    的　　内    容

1
理解
 让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？

2

应用
 根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.与同伴交流。

3

迁移
 思考、探究：
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？
（九） 形成性评价
     形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于知识迁移的思考题，部分学生解答得不是特别好。
通过课堂教学发现学生的知识点掌握较好学习中投入性与主动性非常高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，既提高了教学效率，学生又非常感兴趣。
（十） 教学预测、反思
 数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学的目的

     数学课堂如何体现新理念呢？我从课堂教学的时间、地点、人物三个方面进行了反思。
一、时间：是否一定要按固定的程序进行
数学课我们经常沿袭的时间结构是预习（5分钟）、小组合作（15分钟）、学生展示（20分钟）、教师小结（5分钟）、作业。举行教研活动时，在上课前要有经验要“卡”好节奏，千万别拖堂。
分析与反思：
现行的教材都是分课时编写，通常每课时的任务必须在一节课内完成。多数教师对每节课的内容、任务、进程都具体以时间顺序来分解，有时怕完不成任务，学生在关键处及易混易错处发生分歧时，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕“节外生枝”，过分讲究课堂教学环节的丝丝入扣，教师往往在一节课的各个阶段，按“套路”引领学生一步一步去“走教案”就行了。这种课看上去紧凑，但缺少一种动态生成，往往以牺牲学生学习的积极主动性为代价，弊病很多。我们认为教学任务是否完成不在于课上讲了多少，而要看学生学得如何。只要有利于学生学习积极性的调动和学生发展，固定的课堂教学时间结构可以打破，无需每个环节都要安排。只要课堂上学生学得活泼、主动，重点思路掌握了，不会的问题解决了，即使设计的教学内容或书上的练习没完成，或由于学生对某个内容探究的欲望很强，教师打破教材课时的限制，根据学生的需要灵活地处理教学结构而拖堂了，都不能以时间把握不准而一律认为不是一节好课。
二、地点：学生学习数学的空间难道仅在教室？
九年级上第四章—视图与投影的教学中，对投影这部分内容，教师往往也只在教室中，画出基本图形后，利用光学的基本知识，传授学生如何得到影子，或者根据影子得到实物及寻找光源等。例：一个正方形的纸片在阳光下的影子是什么形状？教师往往怕麻烦，只在教室作讲解，最多提醒学生课后自己试验。实际上，这样的问题实际操作一下，可能能够起到更多更好的效果…说的小一点，可能对这个问题的答案永生难忘；说的大一点，可能就此引起了一引起学生对学习数学、科学甚至探索大自然的兴趣。
三、人物：究竟谁应是课堂的主角？
课上学生讨论交流得最热烈时，教师提高嗓门喊道：请大家安静，听我来讲。学生极不情愿地正襟危坐，恭听教师教诲。课间办公室里教师在互相诉苦：现在学生越来越不听讲了，你讲得口干舌燥，他们在下面却是叽叽喳喳，充耳不闻。
分析与反思：
传统教学意义上的教学知识与技能的传授，强调教师对教学的绝对控制，注重接受式的教学方式，学生基本上是听讲——记忆——练习——再现教师传授的知识。学生只要把教师讲得记下来，考试时准确地将所学内容写到卷子上，就算完成了学习任务。因此教师对学生的要求是“倾听”。“听”和“练”成了学生最重要的学习方法，学生成了学习知识的容器，而不是一个主动探索者和创造者。建构主义理论认为：数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，学生应当成为主动探索知识的“建构者”而不是“模仿者”。教学应当促进学生主体的主动建构，离开了学生积极主动的学习，教师讲得再好，也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象。我们要改变教师包揽课堂的做法，在组织教学的每一个环节时，都应当有意识地体现学生是课堂的主角，多给学生自主探索、合作交流等活动的机会，多让学生“做” 数学。教师要从信息源与知识的传授者转变为学生学习的促进者和引导者，就应巧妙地把自己转向幕后，把学生推向台前，把课堂还给学生，让学生成为课堂真正的主角。