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垂径定理的教学设计

一、教学内容分析
 本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
 二、教学目标
 知识和技能：
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
过程和方法：
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育
三、 学习者特征分析
   1、一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。
2、初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
3、信息素养：大部分学生的信息素养一般。
 四、知识点学习目标描述
知识点编  号
学 习
目 标
 具     体     描     述     语     句

1

感知
 让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.

2

理解
 学生通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识

3

理解
 能通过教师的引导对上述的猜想进行证明，并通过观察定理的变式图形加深对定理的理解和掌握
4

应用
 通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用
5
应用
 引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力
6
理解
 师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识
（一）教学重点和难点
 项    目
 内       容
 解     决     措     施
教学重点
 垂径定理及其应用
通过动手操作，对比已有的知识，从一般到特殊的方法让学生经历了动手操作、观察、猜想、归纳等方法
教学难点
 垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.
通过学生动手做“找圆心”的游戏再利用多媒体播放整个折叠过程
 （二）教学环境要求
    1．每个学生准备若干张圆形纸片；
2．教师自制的多媒体课件；
3．上课环境为多媒体大屏幕环境。
 （三）教学媒体（资源）选择
知识点编  号
 学习
目标
 媒体
类型
媒体内容要点
教学作用
使用方式
所 得 结 论
占用
时间
 媒体来源
 1
 感知
图片
 欣赏图片

i

g
 感知赵州桥
 1分钟
 下载
 2
 理解
圆形
纸片
 动手折叠纸片及教师提出的问题

a

f
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴
 3分钟
自制
    3
 理解
 图片
文本
 图片的折叠演示得出定理的猜想
  c
  f
 得出定理
 3分钟
 自制
   ①媒体在教学中的作用分为：a.提供事实，建立经验；b.创设情境，引发动机；c.举例验证，建立概念；d.提供示范，正确操作；e.呈现过程，形成表象；f.演绎原理，启发思维；g.设难置疑，引起思辨；h.展示事例，开阔视野；i.欣赏审美，陶冶情操；j.归纳总结，复习巩固；k.自定义。
②媒体的使用方式包括：a.设疑—播放—讲解；b.设疑—播放—讨论；c.讲解—播放—概括；d.讲解—播放—举例；e.播放—提问—讲解；f.播放—讨论—总结；g.边播放、边讲解；h. 边播放、边议论；i.学习者自己操作媒体进行学习；j.自定义。
（四）板书设计
 一、课题：垂径定理
1、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）cd过圆心（2）cd ⊥ab于e
则（a）ae=be（b）ad=bd（c）ac=bc
2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）cd过圆心（2）ae=be（ab不是直径）则（a）cd ⊥ab于e (b）ad=bd（c）ac=bc
二、垂径定理的应用：
（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）
（2）解决某些实际问题（如拱桥等）——强化应用意识。
（3）常用的辅助线：（1）作半径；   （2）过圆心作弦的垂线段。
（4）常用解法：    （1）勾股定理 ；（2）解直角三角形
（五）教学策略阐述
   1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。
（六）课堂教学过程结构设计（本栏为课堂教学设计的重点，应详细阐述并绘出流程图）
 教 学
环 节
 教师的活动
学生的活动
教 学 媒 体（资源）
 设计意图、依据

一、情景导入，激疑引趣

 1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。
2该实例中建立与本课题密切有关的数学问题
 聆听背景介绍和欣赏石拱桥的图形，并思考教师提出的问题

挂图
 以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的思考.使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,将实际问题数学化,可让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.

二、尝试诱导，发现定理

 1、活动1：让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？
2、教师演示线段ab的运动变换。
3、让学生大胆提出猜想。
   学生通过找圆心的游戏复习了圆的轴对称性
学生通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识
   利用多媒体播放折叠过程和线段ab的运动变换过程
    教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性，通过线段ab的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经历了由特殊到一般的探索过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础

三、引导探究，证明定理

  教师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面寻找证明思路，然后利用叠合法即可证出。
根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

让学生观察图形（如图4(a)~(d)）中，ab是⊙o的弦，cd是⊙o的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
  学生在教师的引导下进行定理的证明
根据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳
学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解

1、在学生动手操作—折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，
目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。
2、让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式
3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。

四、例题示范，变式练习

 1、教师出示例题：例1 、 如图，已知在⊙o中，弦ab的长8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.
讲完例1后，教师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？
 2、例2  、在例1图形的基础上，以⊙o的圆心再画一个圆交弦ab于c、d，则ab与cd可能存在的关系？试证明
教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
   在教师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题
把握解决此类问题的关键点

   将例2作为例1的延伸，渗透了从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法。

五、巩固练习  化疑解难

   教师出示课前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。
      赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？

学生独立思考，当堂练习

    数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。

六、课堂回顾  画龙点睛
 通过本节课的学习你有哪些想法和收获？

小组讨论后师生共同小结

   师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。

七、课后作业
    结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，

    及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。
（七） 个性化教学
     为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，
选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽ab=60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m是否需要采取紧急措施？请说明问题
为需要帮助的学生所做的调整:教师参与到讨论当中，做弱势小组的组织者和指导者
（八） 形成性检测
 知识点
编  号
 学习
目标
 检　　测　　题    的　　内    容

1
理解
 让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？

2

应用
 根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.与同伴交流。

3

迁移
 思考、探究：
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？
（九） 形成性评价
     形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于知识迁移的思考题，部分学生解答得不是特别好。
通过课堂教学发现学生的知识点掌握较好，学习中投入性与主动性非常高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，既提高了教学效率，学生又非常感兴趣。
（十） 教学预测、反思
 数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学的目的

     数学课堂如何体现新理念呢？我从课堂教学的时间、地点、人物三个方面进行了反思。
一、时间：是否一定要按固定的程序进行
数学课我们经常沿袭的时间结构是预习（5分钟）、小组合作（15分钟）、学生展示（20分钟）、教师小结（5分钟）、作业。举行教研活动时，在上课前要有经验要“卡”好节奏，千万别拖堂。
分析与反思：
现行的教材都是分课时编写，通常每课时的任务必须在一节课内完成。多数教师对每节课的内容、任务、进程都具体以时间顺序来分解，有时怕完不成任务，学生在关键处及易混易错处发生分歧时，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕“节外生枝”，过分讲究课堂教学环节的丝丝入扣，教师往往在一节课的各个阶段，按“套路”引领学生一步一步去“走教案”就行了。这种课看上去紧凑，但缺少一种动态生成，往往以牺牲学生学习的积极主动性为代价，弊病很多。我们认为教学任务是否完成不在于课上讲了多少，而要看学生学得如何。只要有利于学生学习积极性的调动和学生发展，固定的课堂教学时间结构可以打破，无需每个环节都要安排。只要课堂上学生学得活泼、主动，重点思路掌握了，不会的问题解决了，即使设计的教学内容或书上的练习没完成，或由于学生对某个内容探究的欲望很强，教师打破教材课时的限制，根据学生的需要灵活地处理教学结构而拖堂了，都不能以时间把握不准而一律认为不是一节好课。
二、地点：学生学习数学的空间难道仅在教室？
九年级上第四章—视图与投影的教学中，对投影这部分内容，教师往往也只在教室中，画出基本图形后，利用光学的基本知识，传授学生如何得到影子，或者根据影子得到实物及寻找光源等。例：一个正方形的纸片在阳光下的影子是什么形状？教师往往怕麻烦，只在教室作讲解，最多提醒学生课后自己试验。实际上，这样的问题实际操作一下，可能能够起到更多更好的效果…说的小一点，可能对这个问题的答案永生难忘；说的大一点，可能就此引起了一引起学生对学习数学、科学甚至探索大自然的兴趣。
三、人物：究竟谁应是课堂的主角？
课上学生讨论交流得最热烈时，教师提高嗓门喊道：请大家安静，听我来讲。学生极不情愿地正襟危坐，恭听教师教诲。课间办公室里教师在互相诉苦：现在学生越来越不听讲了，你讲得口干舌燥，他们在下面却是叽叽喳喳，充耳不闻。
分析与反思：
传统教学意义上的教学知识与技能的传授，强调教师对教学的绝对控制，注重接受式的教学方式，学生基本上是听讲——记忆——练习——再现教师传授的知识。学生只要把教师讲得记下来，考试时准确地将所学内容写到卷子上，就算完成了学习任务。因此教师对学生的要求是“倾听”。“听”和“练”成了学生最重要的学习方法，学生成了学习知识的容器，而不是一个主动探索者和创造者。建构主义理论认为：数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，学生应当成为主动探索知识的“建构者”而不是“模仿者”。教学应当促进学生主体的主动建构，离开了学生积极主动的学习，教师讲得再好，也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象。我们要改变教师包揽课堂的做法，在组织教学的每一个环节时，都应当有意识地体现学生是课堂的主角，多给学生自主探索、合作交流等活动的机会，多让学生“做” 数学。教师要从信息源与知识的传授者转变为学生学习的促进者和引导者，就应巧妙地把自己转向幕后，把学生推向台前，把课堂还给学生，让学生成为课堂真正的主角。