江苏省兴化市楚水初级中学2022年数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是　　

A． B． C． D．
3．如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）

A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②
4．设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）
A．100 B．50 C．20 D．10
6．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A． B．
C． D．
7．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是(　　)

A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（　　）

A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（    ）
A． B． C． D．
10．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
11．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）

A．1 B． C． D．2
12．如图，周长为定值的平行四边形中，，设的长为，周长为16，平行四边形的面积为，与的函数关系的图象大致如图所示，当时，的值为（ ）

A．1或7 B．2或6 C．3或5 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的底面圆的半径为 cm．
14．对于任何实数，，，，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为________．
15．如图，在四边形中，，，则的度数为______．

16．若函数是反比例函数，则________．
17．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出_____．
18．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．

三、解答题（共78分）
19．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？
20．（8分）计算：

21．（8分）已知关于的一元二次方程 (为实数且)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
22．（10分）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．
(1)求证：∠BAC＝∠AED；
(2)在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：．

23．（10分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．
（1）求证：AC与⊙O相切于D点；
（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．

25．（12分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．

（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．
26．如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M.
(1)设矩形EFGH的长HG=ycm，宽HE=xcm.求y与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?最大值是多少?

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、C
【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴ ,故不正确；
B. ∵，
∴ ,故不正确；
C. ∵，
∴∽，∽,
， ．
，故正确；
D. ∵，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
3、B
【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.
【详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；
影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案
故选B
【点睛】
本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.
4、A
【分析】根据函数解析式画出抛物线以及在图象上标出三个点的位置，根据二次函数图像的增减性即可得解．
【详解】∵函数的解析式是，如图：

∴对称轴是
∴点关于对称轴的点是，那么点、、都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，于是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的对称性以及增减性，画出函数图像是解题的关键，根据题意画出函数图象能够更直观的解答．
5、B
【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．
【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=，
故选B．
【点睛】
解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．
6、D
【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】设房价定为x元，根据题意，得
故选：D．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
7、C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：它的主视图是：

故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.
8、A
【分析】根据平行线截线段成比例定理，即可得到答案．
【详解】∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD＝4，DB＝2，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线截线段成比例定理，，掌握平行线截线段成比例，是解题的关键．
9、A
【分析】画出图像,勾股定理求出AB的长,表示cosB即可解题.
【详解】解：如下图,
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5（勾股定理）,
∴cosB==,

故选A.
【点睛】
本题考查了三角函数的求值,属于简单题,熟悉余弦函数的表示是解题关键.
10、C
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．
【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
11、C
【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
12、B
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得AE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，即可求解.
【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠B＝60°，边AB的长为x，
∴AE＝AB•sin60°＝
∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴BC＝（16−2x）＝8−x，
∴y＝BC•AE＝（8−x）×（0≤x≤8）．
当时，（8−x）×=
解得x1=2,x2=6
故选B.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【解析】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
1πr=，
解得：r=1cm．
故答案是1．
考点：圆锥的计算．
14、1
【分析】先解变形为，再根据 ，把 转化为普通运算，然后把代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∵ ，
∴
=(x+1)(x-1)-3x(x-2)
= x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2(x2-3x)-1
=-2×(-1)-1
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了信息迁移，整式的混合运算及添括号法则，
15、18°
【分析】根据题意可知A、B、C、D四点共圆，由余角性质求出∠DBC的度数,再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上,
∵∠ABC=90°，,
∴∠CBD=18°,
∴∠CAD=∠CBD=18°
故答案为：18°
【点睛】
本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．
16、-1
【分析】根据反比例函数的定义可求出m的值．
【详解】解：∵函数是反比例函数
∴
解得，．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的定义，比较基础，易于掌握．
17、4个小支干．
【分析】设每个支干长出x个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每个支干长出x个小支干，
根据题意得：，
解得：舍去，．
故答案为4个小支干．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18、1．
【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为1寸，
故答案为1．

【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题（共78分）
19、该商品定价60元．
【分析】设每个商品定价x元，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设每个商品定价x元，由题意得：

解得，
当x=50时，进货180-10（50-52）=200，不符题意，舍去
当x=60时，进货180-10（60-52）=100，符合题意．
答：当该商品定价60元，进货100个．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可．
20、（1）；（2）．
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简计算即可．
【详解】（1）原式

；
（2）原式

．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21、 (1)证明见解析；(2)或．
【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】(1)依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
22、见解析
【解析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；
（2）由△DAE∽△CBA，可得，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；
【详解】证明（1）∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE，
∵AB·AD＝BC·AE，
∴，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC＝∠AED．
（2）由（1）得△DAE∽△CBA
∴∠D＝∠C，，
∵∠AFE＝∠D，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23、（1）见解析；（2）1．
【解析试题分析：（1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切于D点；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，
又∵AD=15AE=9，设半径为r，
∴（r+9）2=152+r2，
解方程得，r=1，
即⊙O的半径为1．

考点：切线的判定．
24、（1）（1）AC与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O半径是．
【解析】试题分析：（1）连结OE，如图，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠DBO，于是可判断OE∥BD，再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，证明△AOE∽△ABD，利用相似比得到，然后解方程求出r即可．
试题解析：（1）AC与⊙O相切．理由如下：

连结OE，如图，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴，即，
∴r=，
即⊙O半径是．

考点：圆切线的判定：相似经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（2）小题的关键是利用相似比构建方程．
25、1）画图见解析，A1（﹣1，4），B1（1，4）；（2）．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．
【详解】解：（1）所求作△A1B1C如图所示：

由A（4，1）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，
则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；
（2）∵AC=，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S扇形CAA1+S△ABC
=+×1×2
=+1．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换；扇形面积的计算．
26、（1）；（2）当x=60时，S最大，最大为4800cm².
【解析】（1）根据矩形的性质可得△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）利用S=xy，把代入得S关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可.
【详解】解：(1)∵四辺形EFGH是矩形，
∴HG∥BC
∴ΔAHG∽ΔABC
∴，即
∴
(2)把带入S=xy，
得
=
当x=60时，S最大，最大为4800cm².
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．