1、定积分与微积分基本定理
(时间：35分钟 分值：80分)
1．∫0(x－sinx)dx等于( )
A.－1 B.－1
C. D.＋1
2．下列各命题中，不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续，且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
3．设函数f(x)＝则定积分f(x)dx＝( )
A. B．2 C. D.
4．曲线y＝x3与直
2、线y＝x所围成图形的面积为( )
A. B. C．1 D．2
5．[2013·湖南卷] 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1 C. D.
6．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
7．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
8．若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2 C．－ D．0
3、9．[2013·东北名校二模] dx＝________．
10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝
若f(f(1))＝1，则a＝________．
11．[2013·漳州模拟] 由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
12．(13分)计算下列定积分：
(1)dx；(2)dx；
(3)dx；(4)dx.
13．(12分)已知点P在曲线y＝x2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)．
(1)求切线PQ的方程；
(2)求证：由上述切线与y＝
4、x2所围成图形的面积S与a无关．
课时作业(十六)
【基础热身】
1．B [解析] ∫0(x－sinx)dx＝0＝－1.
2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得．
3．C [解析] f(x)dx＝x2dx＋1dx＝x3)0＋x)1＝.
4．B [解析] 如图，所围图形面积
A＝2(x－x3)dx＝2＝2＝.
【能力提升】
5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为：
S＝＝))sinx)－)＝＝，
故选D.
6．A [解析] 由得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的
5、面积S＝(x2－x3)dx＝＝－＝.
7．A [解析] 由物理知识F＝kx知，1＝0.01k，∴k＝100，则W＝100xdx＝50x2)0＝0.18(J)．
8．B [解析] y＝(sint＋cost·sint)dt＝sintdt＋sin2tdt＝(－cost))0＋)0
＝－cosx＋1－cos2x＋＝－(cosx＋1)2＋2，故当cosx＝－1时，ymax＝2.
9．4 [解析] 根据定积分的性质dx＝dx＋23x2dx＝×＋2×x3)0＝4.
10．1 [解析] 由f(x)＝得
f(x)＝f(1)＝lg1＝0，
f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.
11.
6、 [解析] 联立直线方程与抛物线方程得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，即直线y＝－4x－2为抛物线y＝2x2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分(2x2＋4x＋2)dx＝(x＋1)3)－1＝.
12．解：(1)dx＝dx＝)sinx)dx
＝sinxdx－sinxdx＋sinxdx
＝－cosx)0＋cosx)π－cosx)2π＝2＋2＋2＝6.
(2)dx＝－dx＝ln(x＋1)－ln(x＋2))0
＝(ln2－ln3)－(ln1－ln2)＝2ln2－ln3.
(3)dx＝dx
＝xdx－21dx＋dx
＝x2)1－2x)1＋lnx)1＝－(4－2)＋(ln2－ln1)＝ln2－.
(4)(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)′dx＝(ex＋e－x))0＝e＋－2.
【难点突破】
13．解：(1)点P的坐标为(a，a2－1)，
设切点Q的坐标为(x，x2)，
由kPQ＝及y′＝2x知＝2x，
解得x＝a＋1或x＝a－1.
所以所求的切线方程为2(a＋1)x－y－(a＋1)2＝0或2(a－1)x－y－(a－1)2＝0.
(2)S＝[x2－2(a－1)x＋(a－1)2]dx＋[x2－2(a＋1)x＋(a＋1)2]dx＝.
故所围成的图形面积S＝，此为与a无关的一个常数．
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