广东省韶关市2011届高三数学入学摸底考试-理-新人教A版.doc

韶关市2011届高三数学摸底考试
数学（理科）试题
说明：考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。）
1.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为了得到函数，的图像，只需把函数，的图像上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
4. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行
④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于（ ）
A. B. C. D. 4

频率

组距
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
视力
0.1
0.3
6. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100
名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右，由于不慎
将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的
频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的
学生人数为b，则a、b的值分别为（ ）
A. 0.27，78 B. 0.27，83
C. 2.7，78 D. 2.7，83
7. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费与仓库到车站的距离成正比。据测算，如果在距离车站10公理处建仓库，这两项费用，分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
5公理处 4公理处 3公理处 2公理处
8. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且。若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中14~15题是选做题，考生只能选做一题。）
9. 双曲线的焦距是_________________.
10. 的展开式的第10项的系数是_________________.
11. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是 .
12．在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中
学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，
日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要
求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男
2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有________.
13. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线上，那么|PQ|的最小值为_________________;

14.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_____________;
15.（几何证明选做题）
如图，是直角，半径为5的圆与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C,
BT是否平分？证明你的结论；
证明：连结OT，
（1）是切线，
（2）。
（3）又是直角，即，
（4），
（5）
（第15题图）
（6）又，
（7）。
（8），即BT平分。
以上证明的8个步骤中的（5）是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求在R上的单调区间.

17.（本小题满分12分）
设函数在及时取极值.
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.

18. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，AC=3，BC=4，AB=5，，点D是AB的中点.
（1）求证：；
（2）求证：∥平面;
（3）求异面直线与所成角的余弦值.

19. （本小题满分14分）
A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量和。根据市场分析，和的分布列分别为：

5%
10%

2%
8%
12%
P
0.8
0.2

P
0.2
0.5
0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差、；
（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和. 求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值.（注：）

20（本题满分14分）
椭圆的两个焦点为，M是椭圆上的一点，且满足
.
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，
问A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

21. （本小题满分14分）
已知函数，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求；
（3）令，，，若对一切成立，求最小正整数m.

韶关市2011届高三数学摸底考试理数试题
参考答案和评分标准
一、选择题
1. B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. A 7. A 8. B
二、填空题
9. 10. 11. (答案不唯一) 12. 13.
14. 1 15.
三、解答题
16. 解：（Ⅰ）
…..4分
所以函数的最小正周期为，最大值为…………..6分
（Ⅱ）由………………………………7分
得…………………………………………………9分
由……………………………………..10分
得 ……………………………………………….11分
所以，单调增区间;单调减区间
. …………………………………………………………………………………………12分
17. 解：（Ⅰ），………………………………………………..1分
因为函数在及取得极值，则有，…….2分
即
解得，……………………………………………………………..5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
……………………………………..6分
当时，；当时，；

当时，………………………………………………..8分
所以，当时，取得极大值，又，
则当时，的最大值为…………………..10分
因为对于任意的，有恒成立，
所以，解得或，
因此c的取值范围为…………………………………12分
18. 解法一：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
，
又是直三棱柱，所以， ………………………2分
面，面 ；…….4分
（Ⅱ）设与和交点为E，连结DE，
D是AB的中点，E是的中点，…….7分
x
z
y
平面，平面，平面；…9分
（Ⅲ），为与所成的角…11分，
在中，，，
，

异面直线与所成角的余弦值为………………………..14分
解法二： 直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分
AC，BC，两两垂直。………………………………………………4分
如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分
（Ⅰ），，，……8分
（Ⅱ）设与和交点为E，连结。
，，
平面，平面，平面………………..11分
（Ⅲ），

异面直线与所成角的余弦值为………………………………14分
19. 解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为

5
10

2
8
12
P

0.8
0.2

P
0.2
0.5
0.3
………………………………………….1分
…………………………...3分
………………………………..4分
………..6分
（Ⅱ）………………………….8分
……………………………………….10分

……………………………………..12分
当时，为最小值。…………………………14分
20. 解：（1）设，则
由………………………………….1分
又在椭圆上，∴ ………………………………………………2分
∴， ………………………………………..3分
又 ∴……………………………….4分
∵ ………………………………………………………….5分
（2）①当时得椭圆为
设是椭圆上一点，
则
………6分
设，则，当时，，由题意得
∴，与矛盾，……………………………………………7分
设得，当时，，由得（合题薏）
∴椭圆方程是： ……………………………………………………8分
②．设由
而 …………………………………………………….9分
又A、B两点关于过点、Q的直线对称
∴，设，则……………10分
∴ ………………………………………………11分
∴ …………………………….12分
又，∴或 ……………………………………13分
∴需求的k的取值范围是或 ………………………14分
21解：（1）……………………………2分
是以为公差，首项的等差数列………………………3分
………………………………………………………4分
（2）

……8分
（3）当时，
当时，上式同样成立
………………….11分
，即对一切成立，
又随n递增，且 ……………………12分
，， …………………14分

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