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巧用有关结论解题
湖南长沙天心区第一中学 刘小兰
向量是一个几何量，是有“形”的，既然向量具有“数”与“形”的两方面的特征，所以向量成为数与形结合的桥梁，善于运用向量的这一特征，同时在解题中，巧用有关结论可以达到事半功倍的效果
一、巧用三点共线有关结论解题
设OA与OB不共线，P为平面OAB内任意一点，且OP=λOA＋μOB
① 若P、A、B三点共线则 λ＋μ=1
② 若P为AB的中点，则 λ=μ=12
例1．如图所示，在△ABO中，OC=14OA ， OD=12OB，AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b，试用a，b表示向量OM
解：设OM=mOA＋nOD
∵OC=14OA
∴OA=4OC 又OD=12OB
∴OM=4mOC＋n2OB
又∵A、M、D三点共线，C、M、B三点共线
∴m+n=14m+n2=1 解之得m=17n=67
∴OM=mOA＋n2OB=17a+37b
例2．若PQ过△ABO的重心G，且OA=a ， OB=b ，OP=ma ，OQ=nb，
求证：1m+1n=3
证明：如图所示，由题意OP=ma，OQ=nb 可知 a=1mOP，b=1nOQ
设M为AB的中点
∵G为△ABO的重心
∴OG=23OM=23·12OA+OB=13a+13b=13mOP+13nOQ
又∵Q、G、P三点共线
∴13m+13n=1
即1m+1n=3
例1、例2 抓住三点共线及有关结论建立方程，用等量转化的方程思想是解决这类问题的关键。
二、巧用向量的投影有关结论解题
如图：作AM⊥OB交于OB于M，设∠AOB=θ
则向量OA在OB方向上的投影为OM=OA·COSθ
例3．已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点
则AP·（AB+AC） （ ）
A．最大值为8 B．是定值6
C．最小值为2 D．与点P的位置有关
解：如图，设H为BC的中点，连AH，则AP 在AH 上的投影为AH=3
又AB+AC=2AH

∴AP·（AB+AC）=AP·2AH=2×3×AH=6
选B。
例4．（2012年湖南高考（文）15）.如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则AP·AC=
解：设AC∩BD=M，则AC=2AM ，
AM 在AP上的投影为AP=3
∴AP·AC=2AP·AM
=2×3×AP=2×32=18
例3、例4利用数形结合，直观判断一向量在另一向量上的投影值 ，再利用有关结论直接得出结果。
向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数题要结合图形进行分析判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧，如果同时注意有关结论的灵活应用，可减少繁琐的运算。