北京市顺义区高三数学第一次统练试题-理(含解析)新人教B版.doc

顺义区2013届高三第一次统练
数学试卷(理工类)
一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
,,所以，选B.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
,所以对应点的坐标为，选A.
3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是
A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线
【答案】B
将参数方程消去参数得，所以对应图形为直线。由得，即，即，对应图形为圆，所以选B.
4.已知向量,且,则实数
A. B C.6 D.14
【答案】D
因为，所以，即，所以，解得。选D.
5.如图,分别与圆相切于点是⊙的割线,连接.则

A.
B.
C.
D.
【答案】C
由切线长定理知,所以错误。选C.
6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为
A.36 B.30
C.24 D.12
【答案】C
若选1，则有种。若选0，则有种，所以共有，选C.
7.设不等式组表示的平面区域为.若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A到圆心的距离最小B到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D,则有或.由得，即。由，得，即。所以，，所以或，即的取值范围是，选D.

8.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是
A. B.
C.是奇函数 D.的单调递增区间是
【答案】D
因为恒成立，所以是函数的对称轴，即,所以，又，所以，即，所以，所以，即。由，得，即函数的单调递增区间是，所以D正确，选D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.执行如图所示的程序框图,输出的值为 .

【答案】
第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不满足条件，输出。
10.在中,若,则 , .
【答案】
由得，。由正弦定理得。又，即，解得。
11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,,,,.由图中数据可知 ;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为 .

【答案】0.18,33
因为，所以。不低于23.5℃的频率为，所以样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为。
12.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为 .
【答案】
因为函数为你偶函数，所以，且函数在上递增。所以由得，即，所以不等式的解集为。
13.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么 .
【答案】4
抛物线的焦点坐标为,准线方程为。因为直线的倾斜角为，所以,又，所以。因为，所以,代入，得，所以.
14.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:
①函数是单函数;
②函数是单函数;
③若为单函数,且,则;
④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.
其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).
【答案】③
①若，则由得，即，解得，所以①不是单函数。②若则由函数图象可知当，时，，所以②不是单函数。③根据单函数的定义可知，③正确。④在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以④不一定正确，比如②函数。所以真命题为③。
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)
已知函数的最小正周期为.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最大值和最小值.

16.(本小题满分13分)
已知为等差数列,且.
(I)求数列的前项和;
(II)求数列的前项和.

17.(本小题满分13分)
现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;
(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
18.(本小题满分14分)
设函数.
(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;
(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(III)当时,求函数在区间上的最大值.

19.(本小题满分14分)
已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.
(I)求数列的通项公式;
(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;
(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.

顺义区2013届高三第一次统练
数学试卷(理工类)参考答案
一、BABD CCDD
二、9. 10. 11.0.18,33
12. 13.4 14.③
三、
15.解:(I)

.………………………………………………………5分
因为是最小正周期为,
所以,
因此.…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可知,,
因为,
所以.…………………………………………………9分
于是当,即时,取得最大值;…………………11分
当,即时,取得最小值.……………13分
16.解:(I)设等差数列的公差为,
因为,
所以
解得,…………………………………………………………2分
所以,……………………………………………3分
因此………………………………………4分
记数列的前项和为,
当时,,
当时,,
当时,

=,
又当时满足此式
综上,…………………………………………8分
(II)记数列的前项和为.
则,
,
所以.
由(I)可知,,
所以,
故.………………………………………………13分
17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.
由题意知,,
所以

.………………………………………………………………………4分
(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,

.
,
,
,
故的分布列是

0
1
2
3
4

……………………8分
所以.………………………9分
(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.

.
所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.………13分
18.解:(I).
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,
即,且,
解得.…………………………………………………………3分
(II)记,当时,
,
,
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:

0
—
0

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,……………………………………………………………………………6分
故在区间内单调递增,在区间内单调递减,
从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当
解得,
所以的取值范围是.…………………………………………………9分

(III)记,当时,
.
由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.
①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;
②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为；
当且,即时，t+3<2且h(2)=h(-1)所以在区间上的最大值为；

③当时,,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者.
由知,当时,,
所以在区间上的最大值为;……13分
④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.………………………………………………14分

19.解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.
由直线与圆相切,得,
所以或(舍去).
当时,,
故椭圆的方程为.………………………………………………5分
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,
则直线的方程为.
因为点在椭圆内,
所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.
由得.
设点的坐标分别为,则
,
所以

.
又因为点到直线的距离,
所以的面积为.…………………………10分
设,则且,
.
因为,
所以当时,的面积达到最大,
此时,即.
故当的面积达到最大时,直线的方程为.…………………14分
20.解:(I)由题意可知,.
当时,,
当时,也满足上式,
所以.…………………………………………………………3分
(II)由(I)可知,即.
当时,,………①
当时,,所以,………②
当时,,………③
当时,,所以,………④
……
当时(为偶数),,所以………
以上个式子相加,得

.
又,
所以,当为偶数时,.
同理,当为奇数时,
,
所以,当为奇数时,.……………………………………………6分
因此,当为偶数时,数列的前项和

;
当为奇数时,数列的前项和

.
故数列的前项和
.…………………………………………………8分
(III)由(II)可知
①当为偶数时,,
所以随的增大而减小,
从而,当为偶数时,的最大值是.
②当为奇数时,,
所以随的增大而增大,
且.
综上,的最大值是1.
因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,
故实数的取值范围是.………………………………………………13分

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