北京市顺义区高三数学第一次统练试题-理(含解析)新人教B版.doc

顺义区2013届高三第一次统练
数学试卷(理工类)
一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
,,所以，选B.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
,所以对应点的坐标为，选A.
3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是
A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线
【答案】B
将参数方程消去参数得，所以对应图形为直线。由得，即，即，对应图形为圆，所以选B.
4.已知向量,且,则实数
A. B. C.6 D.14
【答案】D
因为，所以，即，所以，解得。选D.
5.如图,分别与圆相切于点是⊙的割线,连接.则

A.
B.
C.
D.
【答案】C
由切线长定理知,所以错误。选C.
6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为
A.36 B.30
C.24 D.12
【答案】C
若选1，则有种。若选0，则有种，所以共有，选C.
7.设不等式组表示的平面区域为.若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D,则有或.由得，即。由，得，即。所以，，所以或，即的取值范围是，选D.

8.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是
A. B.
C.是奇函数 D.的单调递增区间是
【答案】D
因为恒成立，所以是函数的对称轴，即,所以，又，所以，即，所以，所以，即。由，得，即函数的单调递增区间是，所以D正确，选D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.执行如图所示的程序框图,输出的值为 .

【答案】
第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不满足条件，输出。
10.在中,若,则 , .
【答案】
由得，。由正弦定理得。又，即，解得。
11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,,,,.由图中数据可知 ;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为 .

【答案】0.18,33
因为，所以。不低于23.5℃的频率为，所以样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为。
12.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为 .
【答案】
因为函数为你偶函数，所以，且函数在上递增。所以由得，即，所以不等式的解集为。
13.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么 .
【答案】4
抛物线的焦点坐标为,准线方程为。因为直线的倾斜角为，所以,又，所以。因为，所以,代入，得，所以.
14.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:
①函数是单函数;
②函数是单函数;
③若为单函数,且,则;
④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.
其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).
【答案】③
①若，则由得，即，解得，所以①不是单函数。②若则由函数图象可知当，时，，所以②不是单函数。③根据单函数的定义可知，③正确。④在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以④不一定正确，比如②函数。所以真命题为③。
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)
已知函数的最小正周期为.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最大值和最小值.

16.(本小题满分13分)
已知为等差数列,且.
(I)求数列的前项和;
(II)求数列的前项和.

17.(本小题满分13分)
现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;
(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
18.(本小题满分14分)
设函数.
(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;
(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(III)当时,求函数在区间上的最大值.

19.(本小题满分14分)
已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.
(I)求数列的通项公式;
(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;
(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.

顺义区2013届高三第一次统练
数学试卷(理工类)参考答案
一、BABD CCDD
二、9. 10. 11.0.18,33
12. 13.4 14.③
三、
15.解:(I)

.………………………………………………………5分
因为是最小正周期为,
所以,
因此.…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可知,,
因为,
所以.…………………………………………………9分
于是当,即时,取得最大值;…………………11分
当,即时,取得最小值.……………13分
16.解:(I)设等差数列的公差为,
因为,
所以
解得,…………………………………………………………2分
所以,……………………………………………3分
因此………………………………………4分
记数列的前项和为,
当时,,
当时,,
当时,

=,
又当时满足此式,
综上,…………………………………………8分
(II)记数列的前项和为.
则,
,
所以.
由(I)可知,,
所以,
故.………………………………………………13分
17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.
由题意知,,
所以

.………………………………………………………………………4分
(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,

.
,
,
,
故的分布列是

0
1
2
3
4

……………………8分
所以.………………………9分
(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.

.
所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.………13分
18.解:(I).
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,
即,且,
解得.…………………………………………………………3分
(II)记,当时,
,
,
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:

0
—
0

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,……………………………………………………………………………6分
故在区间内单调递增,在区间内单调递减,
从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当
解得,
所以的取值范围是.…………………………………………………9分

(III)记,当时,
.
由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.
①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;
②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为；
当且,即时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；

③当时,,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者.
由知,当时,,
所以在区间上的最大值为;……13分
④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.………………………………………………14分

19.解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.
由直线与圆相切,得,
所以或(舍去).
当时,,
故椭圆的方程为.………………………………………………5分
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,
则直线的方程为.
因为点在椭圆内,
所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.
由得.
设点的坐标分别为,则
,
所以

.
又因为点到直线的距离,
所以的面积为.…………………………10分
设,则且,
.
因为,
所以当时,的面积达到最大,
此时,即.
故当的面积达到最大时,直线的方程为.…………………14分
20.解:(I)由题意可知,.
当时,,
当时,也满足上式,
所以.…………………………………………………………3分
(II)由(I)可知,即.
当时,,………①
当时,,所以,………②
当时,,………③
当时,,所以,………④
……
当时(为偶数),,所以………
以上个式子相加,得

.
又,
所以,当为偶数时,.
同理,当为奇数时,
,
所以,当为奇数时,.……………………………………………6分
因此,当为偶数时,数列的前项和

;
当为奇数时,数列的前项和

.
故数列的前项和
.…………………………………………………8分
(III)由(II)可知
①当为偶数时,,
所以随的增大而减小,
从而,当为偶数时,的最大值是.
②当为奇数时,,
所以随的增大而增大,
且.
综上,的最大值是1.
因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,
故实数的取值范围是.………………………………………………13分

- 18 -