概率论练习题.doc

一、选择题
1、随机实验为：统计某路段一个月中的重大交通事故的次数，表示事件“无重大交通事故”；表示事件“至少有一次重大交通事故”；表示事件“重大交通事故的次数大于1”；表示事件“重大交通事故的次数小于2，则互不相容的事件是（ ）。
答:D
A B C D
2、随机实验为：统计某路段一个月中的重大交通事故的次数，表示事件“无重大交通事故”；表示事件“至少有一次重大交通事故”；表示事件“重大交通事故的次数大于1”；表示事件“重大交通事故的次数小于2，则不是对立事件的是（ ）。
答:C
A B C D 与
3、为随机试验中三个事件，则中三者都未出现表示为（ ）。
A B C D
答:C

4、设为随机试验中的三个事件，则等于（ ）。
A B C D
答:B

5、相互独立，=0.6,=0.3,则等于（ ）。
A 0.6 B 0.3 C 0.5 D 0.18
答:B

6、设相互独立，=0.75，=0.8 ,则=（ ）。
A 0.45 B 0.95 C 0.6 D 0.55
答:B

7、袋中共有5个球，其中3个新球，2个旧球，每次取1个，无放回的取2次，则第2次取到新球的概率是（ ）.
A B C D
答:A

8、4.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，求该射手在一次射击中命中的概率为（ ）。
A B C D
答:A

9、4.甲，乙，丙3人独立破译一种密码，他们能译出的概率分别为，则能译出这种密码的概率是（ ）。
A B C D
答:B

10、三人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为，则目标被击中的概率是（ ）.
A B C D
答:A

11、袋中4只白球，2只黑球，从袋中任取2只球（不放回抽样），则取出2只白球的概率是（ ）.
A B C D
答:C

12.

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

20、

21、

22、

23、

24、

25、

26、

27、

28、

29、

30、

二、填空题
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

20、

21、

22、

23、

24、

25、

26、

27、

28、

29、

30、

三、综合题
1、已知 , 求
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解 (1) 因为 且与是不相容的, 故有
于是
(2)

(3)
(4)
2、某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%,订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A, B的有10%. 求只订一种报纸的概率（
解 记事 则
{只订一种报}
又这两件事是互不相容的, 由概率加法公式及性质4, 有
=0.6.
3、将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序;
(2) 第1号球排在最右边或最左边;
(3) 第1号球与第2号球相邻;
(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).
解 将4个球随意地排成一行有4!=24种排法, 即基本事件总数为24.
记(1), (2),(3), (4)的事件分别为
(1) 中有两种排法,故有
(2) 中有种排法, 故有
(3) 先将第1,2号球排在任意相邻两个位置, 共有种排法, 其余两个球可在其余两个位置任意排放, 共有2! 种排法, 因而有种排法, 故
(4) 第1号球排在第2号球的右边的每一种排法, 交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法, 反之亦然.
因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同, 各占总排法数的 故有
4、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,
(1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解 记事件“该产品是次品”, 事件“该产品为乙厂生产的”, 事件“该产品为丙厂生产的”, 事件“该产品是次品”. 由题设, 知

(1) 由全概率公式得
(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得

5、8支步枪中有5支已校准过，3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3. 现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，求所用的枪是校准过的概率.
解 设{使用的枪校准过}, {使用的枪未校准}, {射击时中靶},则是的一个划分, 且
由贝叶斯公式, 得
这样, 所用的枪是校准过的概率为
6、假设某地区成年男性的身高(单位: 厘米) 求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率.（）
解 根据假设且表示该地区成年男性的身高超过175厘米，可得

即该地区成年男性身高超过175厘米的概率为0.2578.
7、设某项竞赛成绩(65, 100)，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应
定为多少？
解 设获奖分数线为 则求使成立的

即 查表得 解得 故分数线可定为78分.
8设随机变量的概率密度为

求（1）A；（2）。
8、解：
（1）由可得，

即 ,
（2）=

9、某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.
解 以7:00为起点0, 以分为单位, 依题意

为使候车时间少于5分钟, 乘客必须在7:10到7:15之间, 或在7:25到7:30之间到达车站, 故所求概率为

即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.
·10、某元件的寿命服从指数分布, 已知其参数 求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.
解 由题设知, 的分布函数为

由此得到

各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则 所求概率为

11、设随机变量和具有联合概率密度

求边缘概率密度.
解

12、设与的联合概率分布为
Y
X

0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1

(1) 求时, 的条件概率分布;
(2) 判断与是否相互独立?
（3）求
解 (1)
在时, 的条件概率分布为

(2) 因
而 即
所以, 与不独立.
(3)
13、已知离散型随机向量的概率分布为

Y
X

0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1

求(1) (2)及.
解 容易求得的概率分布为
的概率分布为
于是有
(1)

(2)

于是

14、设随机变量和相互独立, 且,试求
的概率密度.
解 且与独立, 故和的联合分布为正态分布, 和的任意线性组合是正态分布, 即

即的概率密度是
15、设是来自总体的样本, 又设
,
试求常数C, 使服从分布.
解 因为
所以 且相互独立, 于是

故应取 则有
16、设总体X服从标准正态分布, 是来自总体X的一个简单随机样本, 试问统计量

服从何种分布?
解 因为
且与相互独立, 所以 再由统计量的表达式,
即得
17、设为X的一个样本。（）
求:(1) 样本均值的数学期望与方差; (2)
解 由于 样本容量
所以 于是
由 得
故
18、

19