课时跟踪检测(三十一) 等比数列及其前n项和.doc

课时跟踪检测(三十一)　等比数列及其前n项和

第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3 ＝ a2＋10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
2．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N+)成等比数列”是“a＝anan＋2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2013·郑州质量预测)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．(2013·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
5．(2013·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N+，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 013＝(　　)
A．92 012 B．272 012
C．92 013 D．272 013
6．(2012·江西高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1且对任意的n∈N+都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.
7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
8．(2013·北京市海淀区高三上学期期末)数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N+，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N+)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N+)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．

10．(2013·东北三校联考)已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N+)，求实数λ的值．

第Ⅱ组：重点选做题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为(　　)
A．12 B．14
C．15 D．16
2．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．

答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选C　由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.
2．选A　显然，n∈N+，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…
3．选A　依题意得，数列{an}是等比数列，
a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.
4．选A　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.选A.
5．选D　由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2 013＝33×2 013＝272 013.故选D.
6．解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，显然an≠0，所以q2＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，所以S5＝＝11.
答案：11
7．解析：当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
8．解析：∵＝an，∴an＋m＝an·am，
∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；
令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，
∴数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：8　2n＋1－2
9．解：(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N+)，
n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.
因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，
公比为的等比数列．
(2)因为an＝n－1，
由bn＋1＝an＋bn(n∈N+)，
得bn＋1－bn＝n－1.
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋
(bn－bn－1)
＝2＋＝3·n－1－1(n≥2)，
当n＝1时也满足，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1.
10．解：(1)设数列{an}的公比为q，
由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，
∴6q2＝q3＋q4，解得q＝－3或q＝2，
∵q>0，∴q＝2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N+)．
(2)记bn＝an＋1－λan，
则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，
若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；
若λ≠2，则＝2，数列{bn}为首项为2－λ，公比为2的等比数列，
此时Sn＝(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，
∵Sn＝2n－1(n∈N+)，∴λ＝1.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选D　＝q4＝2，
由a1＋a2＋a3＋a4＝1，
得a1·＝1，∴a1＝q－1，
又Sn＝15，即＝15，∴qn＝16，
又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.
2．解析：由条件得：f(n)·f(1)＝f(n＋1)，即an＋1＝an·，所以数列{an}是首项与公比均为的等比数列，求和得Sn＝1－n，所以≤Sn<1.
答案：