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一元二次不等式、简单的线性规划问题
(时间：120分钟；满分：160分)
一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．，则的元素的个数为 ．
2．若点和在直线的两侧，则的取值范围是 ．
3．已知点，，，则表示的边界及其内部的约束条件是 ．
4．不等式的解集为 ．
5．设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为 ．
6．已知函数，则不等式的解集是 ．
7．若实数、满足，则的取值范围是 ．
8．已知，则实数的取值范围为 ．
9．在R上定义运算：=．若不等式＜1对任意实数成立，则的取值范围是 ．
10．若为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ．
11．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围为 ．
12．已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则= ．

13．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 ．
14．若关于的不等式：有解，且解的区间长不超过5个单位，则的取值范围是 ．
二 解答题（本大题共6小题，共90分）
15．已知函数，当∈(-2，6)时，其值为正；而当∈(-∞，-2)∪(6，+∞）时，其值为负．
（1）求实数，的值及函数的表达式；
（2）设，问取何值时，函数的值恒为负值？

16．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出、的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点?

17．已知不等式的解集为，且，求不等式 的解集．

18．某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？

19．函数．
(1)当∈R时，恒成立，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．

20．已知不等式 (∈R)．
(1)解这个关于的不等式；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．

一元二次不等式、简单的线性规划问题答案
1．0 2． 3． 4． 5．5 6． 7．（1，+∞） 8．0≤≤4 9． 10． 11．＜＜ 12． 13．0＜≤1或≥ 14．-25≤＜-24或0＜≤1
15．已知函数，当∈(-2，6)时，其值为正；而当∈(-∞，-2)∪(6，+∞）时，其值为负．
（1）求实数，的值及函数的表达式；
（2）设，问取何值时，函数的值恒为负值？
解 (1)由题意可知和是方程的两根，
∴，∴．…………………………………………4分
∴．…………………………………………………………7分
(2)
．…………………………………………………………… 10分
当时，不恒为负值；……………………………………… 12分
当时，若的值恒为负值，
则有，解得．…………………………………………………14分

16．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出、的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点?
解 (1)不等式表示直线上及右下方的点的集合；
表示直线上及右上方的点的集合；
表示直线上及左方的点的集合．
所以，不等式组表示的平面区域如图所示．……………………………… 4分
结合图中可行域得∈ ，∈［-3，8］．………………………………………7分
2)由图形及不等式组知……………………………………………9分
当时，，有12个整点；
当时，，有10个整点；
当时，，有8个整点；
当时，，有6个整点；
当时，，有4个整点；
当时，，有2个整点．
∴平面区域内的整点共有
2+4+6+8+10+12=42(个)．…………………………………………………………………14分

17．已知不等式的解集为，且，求不等式 的解集．
解 方法一 由已知不等式的解集为可得,
，并且有为方程的两根．………………………………4分

②
①
∴由根与系数的关系可得
∵，∴由②得．………………………………………………………………7分
则可化为．
①÷②得．
由②得，
∴、为方程的两根．………………………………………… 11分
∵，
∴不等式的解集为．…………………………14分
方法二 由已知不等式解集为，得
，且为方程的两根．……………………………………4分
∴，，
∴………………………………………………7分

．……………………………………… 11分
∵，∴，∴．
∴的解集为．…………………………………14分
18．某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
解 设每天生产甲、乙两种产品分别为吨、吨，利润总额为万元．…………… 1分
则线性约束条件为，…………………………………………………… 4分
目标函数为．…………………………………………………………… 6分
作出可行域如图，…………………………………………………………………… 10分

作出一组平行直线，
当直线经过直线和直线的交点时，
利润最大．…………………………………………………………………………… 14分
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，
=7×20+12×24=428（万元）．
答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．………… 16分
19．函数．
(1)当∈R时，恒成立，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
解 (1)∵∈R时，有恒成立，
则，即，所以．…………… 5分
(2)当时，设 ，
令，分如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图(1)，当的图象恒在轴上方时，满足条件时，
有，即．…………………………………………… 8分
②如图(2)，的图象与轴有交点．
但在时，，
即
即
解之得．……………………………………………………………………… 11分
③如图(3)，的图象与轴有交点，
但在时，，
即，
即………………………14分
综合①②③得．……………………………………………………… 16分
20．已知不等式 (∈R)．
(1)解这个关于的不等式；
2)若时不等式成立，求的取值范围．
解 (1)原不等式等价于．
①当时，由，得；…………………………………………2分
②当时，不等式化为，
解得或；………………………………………………………… 4分
③当时，不等式化为；
若，即，则；……………………………………… 6分
若，即，则不等式解集为；…………………………………… 8分
若，即，则．………………………………………… 10分
综上所述：
时，解集为；
时，原不等式解集为；
时，解集为；
时，解集为；
时，解集为．……………………………………………12分
(2)∵时不等式成立，
∴，即，
∴，即的取值范围为．……………………………………………… 16分