《随机变量及其分布》单元检测.docx

《随机变量及其分布》单元检测
一． 选择题
1. 某学生解选择题出错的概率为，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（ ）
A. B. C. D.

2.（2013高考广东理4）.已知离散型随机变量X的分布列为

X
X P
1
2
3
P
35
310
110

则X的数学期望E（X）=
A. 32 B. 2 C. 52 D 3
【答案】　C
3.一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（ ）
A. B.
C. D.
4. (2011年高考广东卷理科6)甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是(　　)．
A．0.006 B．0.4 C．0.5 D．0.6
6．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)．
A． B． C． D．
7．用1,2,3,4,5这五个数字组成数字不重复的五位数，由这些五位数构成集合M.我们把千位数字比万位数字和百位数字都小，且十位数字比百位数字和个位数字都小的五位数称为“五位凹数”(例：21435就是一个五位凹数)．则从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为(　　)．
A． B． C． D．
8.（2010江西理数）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则
A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能
二．填空题
9. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）
答案：
10. 一批灯泡的使用寿命ζ（单位：小时）服从正太分布N(1000，4002)，则这批灯泡中使用时间超过10800小时的灯泡的概率为 ．
11. (2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋×2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案　

12. 设离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
b
P
a

若E(ξ)＝，则3a＋b＝________；D(ξ)＝________.．
由a＋＋＝1，解得a＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＋b×＝，解得b＝3，所以3a＋b＝4.
三．解答题
三13. （2012高考真题四川理17)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。
答案：本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P()＝1－·p＝.
解得p＝.
(2)由题意，P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝2·＝，
P(ξ＝2)＝·2＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
所以，随机变量ξ的概率分布列为
ζ
0
1
2
3
P

故随机变量ξ的数学期望：
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
14.(2011年高考陕西卷理科20)
如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）

的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知 又由题意知，A，B独立，

X的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54

15．（2010年广东理17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）. 重量的分组区间为（490，495],（495,500]，……（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
16. (2012·北京昌平二模，理16)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是和p(0＜p＜1)．
(1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；
(2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．
解：(1)设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N，则事件M与事件N为对立事件，P(M)＝·0·3＝，
PN)＝1－P(M)＝1－＝.
(2)设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,3,6,9.
P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝··2＝；
P(ξ＝6)＝·2·＝；
P(ξ＝9)＝3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
3
6
9
P

∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝.
设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0,2,4.
P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2.
所以η的分布列为
η
0
2
4
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p.
根据题意，有E(η)＞E(ξ)，
∴4p＞，∴＜p＜1.
17. 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。
[解]（1）；
（2）；
（3）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，则ξ的分布为

ξ
0
2
4
8
p

所以
18（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
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