1、
教案58 数列的概念与简单表示法（2）
一、课前检测
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n，求通项．
解：1）当n=1时，；
2）当时，
=
适合
所以，通项
2.数列、、2、…，则2是该数列的( B )
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项
解析：原数列可写成、、，….
∵2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.
二、知识梳理
1．数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示
2、则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
解读：
2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）
方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。
方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
解读：
3．数列与函数的关系：
研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界
3、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.
1）判定数列{an}的单调性考查的是an＋1与an的大小关系.
2）待定系数法：
解读：1）比差法或比商法。
2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。
三、典型例题分析
题型1 归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法
例1 已知数列中求数列的通项公式。
解法1：由得…… 猜想：
再由数学归纳法进行证明：
①等式成立
②假设时等式成立，即
那么
即时等式也成立
综合①②对任意都
4、有成立。
解法2：
变式训练1 已知数列{}中=1，(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明你的猜想。 答案：（1）略；（2），证明略。
小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。“归纳——猜想——证明”的思想方法是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探索发现真理的重要手段。
题型2 周期数列
例2 数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n＝1,2，…)，An表示数列{
5、an}的前n项之积，则求A2005。
解：可求出a1＝3，a2＝，a3＝－，a4＝3，a5＝，a6＝－，…，数列{an}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a1×a2×a3＝－1，则
A2005＝(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004)×a2005
＝(a1×a2×a3)668a1＝3.
变式训练1 在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝( D )
A．5 B．－5 C．1 D．－1
解：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an
6、n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1000＝－1.
小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。
题型3 数列与函数、方程的融合——单调性等
例3 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．
解：
得
变式训练3 已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是 ( B )
A．an＞an＋1 B．a
7、n＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关
解：＝÷＝＝＜1， ∵an＋1＞0，∴an＜an＋1.
变式训练4（待定系数法） 已知数列{}满足=1，=c＋b,且=3,=15,求常数b、c的值。 答案：b、c分别为6、-3或1、2.
小结与拓展：把an看成关于n的函数，其图象是离散的点。可用研究函数的方法研究数列，数列也具有它的定义域、值域、单调性与周期性等。同样Sn也是这样。
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1．递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和an的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.
2．重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.
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用心 爱心 专心
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