1、应用概率统计试题解答
天水市麦积区教师进修学校 王景昕
一、填空题：
1．设是3个随机事件，则“三个事件中恰有两个事件发生”用表示为 ；
答：
恰好有一个事件发生表示为，至多有一个事件发生表示为，至少有一个事件发生表示为，至少有两个事件发生表示为，至多有两个事件发生表示为，三个事件都发生表示为，三个事件都不发生表示为。其中至多有两个事件发生的对立事件是三个事件都发生。
2．若事件相互独立，且，，则= ；
答：0.625
由于事件相互独立，因此有，从而得到
3．设的概率分布为，，则 ；
答：
根据归一性，应当有，即，
2、
求得
4．设随机变量服从二项分布，已知，，则参数= ；
答：
二项分布的期望，方差，将两式进行比较，可有，
即。
5．设 是来自的样本，则 ；
答：
6．设随机变量与相互独立时，则方差 ；
答：
随机变量与相互独立时有，从而有。
7．设为二维随机向量，与的协方差定义为 ；
答：若存在，则称它为随机变量与的协方差，记为，即。
8．是来自总体的一个样本，，则 ；
答：
， 。
更一般地，设是来自于正态总体的样本，是样本均值，样本方差，则，，。
9．若总体，且已知，
3、用样本检验假设：时，采用统计量是 ；
答：
在 为真的条件下该统计量服从分布。
10．设总体，则的最大似然估计为 。
答：
的最大似然估计为，的最大似然估计为。
二、判断题：
1．两个事件互斥与相互独立是完全等价的；
答：错。
互斥与相互独立没有必然关系，互斥未必独立，独立未必互斥。
2．对于任意两个事件，必有；
答：对。
根据德摩根律，，。
3．是取自总体的样本，则服从分布；
答：错。
应当服从分布，因为 。
4．设，，，则
4、表示；
答：对。
其中。
5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。
答：错。
对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。相当于。
6．设表示3个事件，则表示“都不发生”；
答；对。
7．为两个事件，则（全集）；
答：错。
。
8．设，且，，则=8；
答：对。
二项分布的期望，方差，将两式进行比较有，即，代回期望得=8。
9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量；
5、
答：错。
由于，因此是的有偏估计。
10．经过显著性检验而没有被拒绝的假设一定是正确的假设。
答：错。
经过显著性检验而没有被拒绝的假设不一定是正确的假设，仍然有“存伪”的可能。
三、计算题
1．若从10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不放回，试求第二次取出的是次品的概率。
解：令“第次取出的是次品”，。由古典概型的概率计算公式易知；
又因为第一次取
6、出后不放回，所以，；
因此利用全概率公式可得所求的概率为
。
注：第二次取出次品是在不放回的条件下，符合条件概率的定义要求。同时，第一次取出次品和第一次取出正品可以作为样本空间的一个划分，符合全概率公式的要求。
2．设，试求的概率密度为。
解：因为随机变量服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：
；
进而，将代入上述表达式可得所求的密度函数为：
。
3．设随机变量的密度函数为，试求常数。
解：由题设可知随机变量的密度函数为，其中为常数。
利用密度函数的归一性质，可得：，解得。
4．设的均值、方差都存在，
7、且，令，试求与。
解：；
。
注：由于的均值（即期望）、方差都存在，是常数，因此有，。
5．设两个相互独立的随机变量的和的方差分别为4和2，试求随机变量的方差。
解：由题设知与相互独立，利用方差的性质可得。
又因为，代入上式可得=。
6．设随机变量服从参数为的普阿松分布，且已知，求参数的值。
解：由题设知，，得；
再由假设；
即有，所以。
注：根据方差的定义可知，从而有。
7．设总体服从参数为的普阿松分布，它的分布律为，
是取自总体的样本，试求参
8、数λ的最大似然估计量。
解：似然函数为，
似然方程为，
解得.
因为的二阶导数总是负值，可见，似然函数在处达到最大值。所以，是λ的最大似然估计。
四、证明题：
设服从区间上的均匀分布，试证明（为常数）也服从均匀分布。
证明：由题设可知服从区间上的均匀分布，所以的密度函数为
先求（为常数）的分布函数：
再对求导数可得的密度函数为
故服从上的均匀分布。
6
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