山大附中高三数学第一次模拟试题-文.doc

山西大学附中高三年级（下）数学周考 编号4
数学试卷(文)

一．选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合,，若，则实数的值为
A. B. C. D.
2.已知复数（其中，是虚数单位），则的值为
A． B． C．0 D．2
3.已知数列，若点在经过点（5，3）的定直线上，则数列的前9项和=
A．9 B．10 C．18 D．27
4.某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：

相关人员数
抽取人数
公务员
35
b
教师
a
3
自由职业者
28
4
则调查小组的总人数为
A．84 B．12 C．81 D．14
5.阅读右边的程序框图. 若输入, 则输出的值为
A． B． C． D．
输入
开始
k=0
k＝k＋1
n=3n+1
n>150?
输出k
结束
是
否
6.若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在单调递减
D．在单调递增
7.已知函数与函数的图像关于对称且有,若,则的最小值为
A．9 B． C．4 D．5
8.函数 的图象大致是

9.已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为
A．4 B． C．2 D．
10.一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么该三棱柱的体积是
A. 96 B. 16 C. 24 D. 48
11.如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为
A． B． C． D．
12.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知正数数列（）定义其“调和均数倒数”（），那么当时，=_______________.
14.若变量满足约束条件，则的最大值是________
15.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ．
16.以下正确命题的序号为__________
①命题“存在”的否定是：“不存在”；
②函数的零点在区间内；
③若函数满足且，则=1023；
④函数切线斜率的最大值是2.
三.解答题
17.（满分12分）阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得------③
令 有
代入③得 .
(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.
(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
18.（满分12分）在四棱锥中，，，⊥平面，为的中
点，．
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）若为的中点，求证⊥平面；

19.（满分12分）某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18~19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下：（单位：cm）
南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163;
北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166;

(Ⅰ)根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；
(Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的身高不低于170的大学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率。
20.（满分12分）已知椭圆：的离心率为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.
21.（满分12分）已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数.
(Ⅰ) 当时，求的最大值
(Ⅱ) 若在区间上的最大值为，求的值；
（Ⅲ） 当时，试推断方程=是否有实数解.
选做题（本题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22.如图，圆与圆相交于两点，是圆的直径，过点作圆的切线交圆于点，并与的延长线交于点，分别与圆与圆交于两点。
求证：(Ⅰ)； (Ⅱ)

23.在极坐标系中，曲线，过点（为锐角且）作平行于的直线，且与曲线分别交于两点。
(Ⅰ)以极点为原点，极轴为轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线和直线的普通方程；
(Ⅱ)求的长。
24．已知关于的不等式（其中）。
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数的取值范围。

山西大学附中高三年级（下）数学周考 编号4
数学试题答题纸(文)
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 14. 15. 16.

三．解答题
17.

18.

19.

20.

21.

选做题.

第一次模拟考试文科数学答案：
CDDBB ABCCD BB
13、 14、2 15. 16、②③
17、解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①
，------②……………………………1分
①-② 得.------③………………………………2分
令有，
代入③得.………………………………………5分
(Ⅱ)由二倍角公式,可化为
,……………………………………………8分
所以……………………………………………9分
设的三个内角A,B,C所对的边分别为，
由正弦定理可得.…………………………………………11分
根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.……………………………………………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为
，……………………………………………8分
因为A,B,C为的内角，所以，
所以.
又因为，所以,
所以.
从而.……………………………………………9分
又,所以，故.……………………………………………11分
所以为直角三角形. ……………………………………………12分
18、 （Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
则V＝． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 11分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 12分
19、解：(1)茎叶图如下：

南方
北方
18
17
16
15
3
1 3 5 8 9
3 6 9
7
0
6 5 1 0
9 6 3 2
8

3分

统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合进的答案也给分）
j 北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
k南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐;
l南方大学生的身高的中位数为169.5cm,北方大学生的身高的中位数为172cm；m南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散. 6分
(2) 南方大学生身高不低于170的有170, 180,175,171,176,从中抽取3个相当于从中抽取2个，共有10种抽法，低于175的只有 2个，所以共有3种，概率为
20、解：(Ⅰ) ……………2分
…………………………5分
(Ⅱ)证明：设

，
此时0到AB的距离为 ……………………………………9分

同理可求得
综上所述，圆D的半径为定值 ………………………………12分
21、【答案】解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
=f（1）=-1………………………3分
(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈
① 若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数
∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意……………………………4分
② 若a<，则由f′(x)>0>0，即0函数
∴=f=-1+ln……………………………………6分
令-1+ln=-3，则ln=-2
∴=，即a=. ∵<,∴a=为所求……………7分
(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1……………………………………………………………9分
又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,
当00,g(x) 在(0,e)单调递增；
当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减
∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 ……………………………………10分
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=没有实数解.…………………………………12分
22、【答案】（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ ① （2分）
又分别是⊙的切线和割线∴ ② （4分）
由①，②得 （5分）
F

（Ⅱ）连结、
设与相交于点
∵是⊙的直径
∴
∴是⊙的切线. （6分）
由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）
又∵是⊙的切线，∴
又，∴
∴ （10分）

23、（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为 (1分)
曲线L的普通方程为： （3分）
直线l的普通方程为： （5分）
（Ⅱ）设B（）C（）
联立得
由韦达定理得， （7分）
由弦长公式得 （10分）

【解析】略
24、（Ⅰ）当时，，
时，，得 （1分）
时，，得 （2分）
时，，此时不存在 （3分）
∴不等式的解集为 （5分）
（Ⅱ）∵设
故，即的最小值为

12