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第四课时 等差数列(二)
教学目标：
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点：
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等差数列定义：an－an－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推导公式：an＝am＋(n－m)d
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来思考这样一个问题.
问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝.
反之，若A＝，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.
总之，A＝a，A，b成等差数列.
如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝，同时还满足5＝.
再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝＝＝.
看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5
依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
下面，我们来看一个实际问题.
［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.
［例2］已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.
解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2)，
an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p.
在通项公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以这个等差数列的首项是p＋q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an＝pn＋q（其中p、q是常数）
当p＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y＝q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数
列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上.
例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项
公式为：an＝2n－1，相应的图象是直线y＝2x－1上的均
匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：
［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方
和为83，求此三个数.
解：设此三数分别为x－d、x、x＋d
则
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.
评述：三个数成等差数列时注意其设法.
［例4］已知数列{an}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.
解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝4n－3项.
（1）当n＝12时，4n－3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.
（2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.
评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－m项.
［例5］在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通项公式.
分析一：利用等差数列的通项公式求解.
解法一：设所求的通项公式为an＝a1＋(n－1)d
则
即
①代入②得（a1＋2d）(a1＋12d)＝7 ③
∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）(4＋5d)＝8
即16－25d2＝7，解得d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝－＋(n－1)·＝n－
当d＝－时，a1＝，an＝＋(n－1)·（－）＝－n＋.
分析二：视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题.
解法二：∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4
代入已知得 解得或
由a3＝1，a13＝7得d＝＝＝.
∴an＝a3＋(n－3)·＝n－.
由a3＝7，a13＝1，仿上可得：an＝－n＋.
评述：在解答本题时，首先应注意到{an}是等差数列这个大前提，否则，仅有a3＋a8＋a18＝12及a3a8a13＝28就无法求出a3，a8，a13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8.
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习
已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:
(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数
列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别
是多少？
解：设一无穷等差数列为：a1，a2，…，am，am+1，…，an，…
若去掉前m项，则新数列为：am+1，…，an，…，即首项为am+1，公差为d的等差数列.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，…，an，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，…，a2m－1，…
即，首项为a1，公差为2d的等差数列.
（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，an，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.
Ⅴ.课后作业
课本P39习题 4，5，6，7

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