1、空间几何体强化练习
1.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ B ）
A． B． C． D．
2.如图1，△ ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是（ D ）
3.直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为 （ B ）
A、 B、 C、 D、
4.已知是球表面上的点，，，
，，则球的表面积等
2、于（ A ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
5.如图，在半径为3的球面上有三点，，
球心到平面的距离是，则两点的球面距离（ B ）
A. B. C. D.
6.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( D )
A．角的水平放置的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
7. 如右图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面
3、积为（ C ）
A．2a2 B．a2 C． D．
8.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ C ）
A． B． C． D．
9.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 （ B ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,
4、当直径通过AB与CD的中点时,,故
10.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 20 。
解析:在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
11. 已知正三棱锥内接于半径为6的球,过侧棱及球心O的平面截三棱锥及球面所得的球面如图, 则此三棱锥的侧面积为 .
解:由截面图可知正三棱锥的底面在球的大圆上如图,其侧棱为,
设底面边长为a,由正三角形的边长与高之间的关系得:
,
在中,.
则其侧面积为
12.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在
5、其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_2____.
解析：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为
13.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为，则第三条侧棱长的取值范围是
解析：如图1，四面体ABCD中，AB＝BC＝CA＝1，DA＝DC＝，只有棱长BD是可以变动的．
设M为AC的中点，则MD＝＝，MB＝.但是要构成三棱锥，如图2所示，必须BD16、的体积；（2）求它的内切球的表面积.
解:（1）设外接球的半径为R,球心为O,则OA=OC=OS,
为的外心,外接圆的半径即球的半径.
为正三角形,
即.
（2） 设内切球的半径为,作 底面ABCD,作于F,连结EF,
则
又
而,
15.如图，一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使SA=SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积.
解：棱锥S－BCD的截面为B’C’D’，过S 作SF⊥B’C’，垂足为F，延长SF交BC于点E，连结AF和OE，
∵ 平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C’D’∩平面SOE=AF，平面BCD∩
7、平面SOE=OE，
∴ AF//OE，于是，即，同理可得，
∴ ，，，
∴ S棱锥S－B’C’D’=Q，∴ S棱台侧=Q.
16.直角梯形的一个底角为,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为,求这个旋转体的体积.
解:如图,在梯形ABCD中,AB//CD,,
绕AB旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体.
设,则,
,则
∴旋转体的体积.
17.一个正三棱柱A—BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a,过B点作与侧棱AC、AD相交的截面三角形中，求：
（1）周长的最小值；（2）周长最小时截面的面积.
(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱
8、锥的体积与三棱锥体积之比.
解： (1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a.
(2)如图2，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF.∴BG＝＝＝a ∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2.
(3)∵VA-BCD＝VB-ACD，而三棱锥B—AEF，三棱锥B—ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即
＝＝＝
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