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镇江市第十中学期末复习教学案 第二章 第 8 页
第二章 勾股定理与平方根

A
B
C

【知识要点】
1.勾股定理
直角三角形中，两直角边是、，
斜边是.则： .
◆若=1，=2. 则 ；
若=1，2. 则= .
◆常见的勾股弦数：
3、4、5 / 5、12、13 / 6、8、10 / 7、24、25 / 8、15、17 / 9、12、15…
◆如图,Rt△ABC,∠C=90°,CD⊥AB.
则有：（常用）
2.直角三角形的判定
三角形三边长为、、，若满足：
则这个三角形是直角三角形.
3.平方根、算术平方根和立方根
（1）如果,那么叫做的平方根.记作： = .
（2）如果,那么叫做的立方根.记作：= .
◆正数有 个平方根，这两个平方根 ；
0的平方根是 ；负数 .
◆正数、0、负数都只有 个立方根，
正数的立方根是 ；0的立方根是 ；
负数的立方根是 .

◆3的平方根表示为： ；3的算术平方根表示为： ；
3的立方根表示为： .
◆几个重要公式：
（）； （）；
； ；
.
4.实数的分类

◆数轴上的点和 一一对应.
◆常见的几种无理数：
①根号型：如等开方开不尽的数.
②圆周率π型:如2π，π-1等.
③构造型：如1.121121112…等无限不循环小数.
◆记住常用的：
， ， .
5.近似数与有效数字
有效数字：对于一个近似数，从它左边第一个非零数字起，到后面所有保留数字都是有效数字.
（1）0.0105㎏
精确到0.001㎏ ： ；
保留2位有效数字： .
（2）2006748 m2
精确到100m2 ： ；
保留3位有效数字： .
6.勾股定理的应用：略

知识点1 勾股定理、勾股定理的应用
例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度
⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边
变式：一个直角三角形的两条边长分别为3和4，求斜边长

例2：在△ABC中，AB=13，AC=15，BC=14，。求BC边上的高AD。

变式：在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长．

例3：（1）一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
① 此时轮船离开出发点多少km?
②若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

（2）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是__________
（3）（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝____________

l1
l2
l3
A
C
B

（4）（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_____________
（5）（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

5
20
15
10
C
A
B

B
C
A
30°

例4：如图, 折叠长方形的一边AD，点D落在BC边点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，
（1）你能说出图中哪些线段的长?
（2）求EC的长.

变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm， BC＝8cm，现将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长是多少?

例5：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使
剪成的若干块能够拼成一个大正方形。（1）如果剪4刀，应如何剪拼？
（2）少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？边长为多少？

北
东
B
A
C
D

l
例6、（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

例7.[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；

[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：
= .
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），
即 ，

例8.实践与探索:
㈠小明在玩积木游戏时,把三个正方形积木摆成一定的形状,正视图如图①,
问题(1):若此中的三角形△DEF为直角三角形,P的面积为9,Q的面积为15,则M的面积为_______.
问题(2):若P的面积为36cm2,Q的面积为64 cm2,同时M的面积为100 cm2,则△DEF为
三角形.
㈡图形变化：Ⅰ.如图②,分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗?请说明理由.
Ⅱ.如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,以直角三角形的三边为直径作半圆,你能利用上面中的结论求出阴影部分的面积吗?

第二课时 平方根、立方根
例1：填空题：
⑴16的平方根是 ； 的平方根是 ；2.56的平方根是 ；(-2)2的平方根是 ；的平方根是 。
⑵= ；= ；= ； ； ；= ； ；
(3)一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身，这个数是 ；
(4)若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是 。若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。若式子x－的平方根只有一个，则x的值是 。
(5)若4a+1的平方根是±5，则a= 。若 。
⑺一个正数的两个平方根为m+1和m－3，则m= ，n= 。
⑻若 ；若 ；
⑼若 。
⑽已知x，y都是实数，且y＝，试求xy的值．
例2：选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A、-8是64的平方根，即 B、8是的算术平方根，即
C、±5是25的平方根，即± D、±5是25的平方根，即
2、下列计算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、的算术平方根是（ ）
A、±9 B、9 C、±3 D、3
4、下列说法错误的是（ ）
A、是3的平方根之一 B、是3的算术平方根
C、3的平方根就是3的算术平方根 D、的平方是3
例3：求下列方程中的x的值
（1） （3） （4） （5） （6）

例4：已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足，求c的取值范围。

例5：已知与互为相反数，求的平方根。

例6：若a，b为有理数，且有a，b满足a2＋2b＋b＝17－，求a＋b的值．

例7：某纸箱加工厂，有一批边长为40㎝的正方形硬纸板，现准备将此纸板折成没盖的纸盒。首先在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为625㎝２的纸盒子，想一想，你怎样求出截去的小正方形的边长？

例8：把下列各数填入相应的集合内：
、、0、、、、3.14159、-0.020020002 0.12121121112…
有理数集合{ } 无理数集合{ }
正实数集合{ } 负实数集合{ }

例9：用四舍五入法，按要求取近似值，并用科学记数法表示.
⑴地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）
⑵某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）
⑶小明身高1.595m（保留3个有效数字）
⑷人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）

例10：下面由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？
⑴小明身高1.59m；
⑵地球的半径约为6.4×103；
⑶组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm；
⑷某种电子显微镜的分辨率为1.4×10-8；
例11：若+∣y－2x∣=0。求x－y的值。

例12：若a=－1,求a＋2a－17a－a＋18a－17的值

例13:如图，在数轴上表示1、的对应点分别为A、B，
（1）点B关于点A的对称点为C，则C点所表示的数是 ；
（2）点B与点A关于点C对称，则C点所表示的数是 ；
（3）点A关于点B的对称点为C，则C点所表示的数是 ；
例14：已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值。

提高题：
（1）；
（2）。

练习
一、选择题
1.下列说法错误的是 （　　）
A.的平方根是±2 B.是无理数 C.是有理数 D.是分数
2．小强量得家里彩电荧屏的长为，宽为，则这台电视机尺寸（屏幕的对角线）是 （　　）
A．9英寸（） B．21英寸（）
C．29英寸（） D．34英寸（）
3．三角形三边满足，则这个三角形是 （　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
4．下列命题正确的个数有：（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和负实数两类 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．是的平方根，是64的立方根，则 （　　）
A．3 B．7 C．3，7 D．1，7
6．直角三角形边长为，斜边上高为，则下列各式总能成立的是 （　　）
A、 B．
C． D．
二、填空题
1．的平方根_____，的立方根____．的平方根______，的立方根_______．
2．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．
3．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是________三角形．
4．如果，则________．
5．如果和是一个数的平方根，则
6．三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________．
7．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．
三、解答题
1．求下列各式中的值
； ； ； ．

-3
-2
-1
0
1
2
4
3
-4
第24题图
2．在数轴上画出的点．

3．已知如图所示，四边形ABCD中，
A
D
C
B
第26题图
求四边形ABCD的面积．

第28题图
4．如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？