1、镇江一中高二数学教学案（文科）
直线与圆的位置关系
一、学习目标：
1.能够利用几何法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）及代数法（联列直线方程与圆的方程得到方程组，判断解的个数）来判断直线与圆的位置关系；
2.会求解与圆的切线相关的问题（求切线方程，切线长），会求圆的弦长等问题.
二、学习重点与难点：
1.重点：判断直线与圆的位置关系；
2.难点：解决与位置关系相关的问题，如求切线方程等.
三、知识点回顾：
1．直线与圆的位置关系有 、 、 ．
2．已知直线与圆，圆心到直线
的距离为：
则 直线
2、与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离．
3．已知直线与圆．
由消元，得到的一元二次方程，计算其判别式，
则 ： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离．
4．直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线被圆截得的弦长
为 ．
四、基础练习：
1.直线3x＋4y－14＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是________．
2.以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋
3、1)2＝9
3.若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为
______________．x－y－3＝0
4.已知直线与圆相交于A,B两点，弦长的值为___________．
四、例题剖析:
例1: （1）自点作圆的切线，求切线的方程及切线长；
（2）自点作圆的切线，求切线的方程．
题后反思：
例2: 已知一条直线经过点P，且被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此直线的方程．
解 (1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，
代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.∴弦长为|y1－
4、y2|＝8，符合题意．
(2)当斜率k存在时，设所求方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0.由已知，弦心距|OM|＝＝3
∴＝3，解得k＝－.
所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.
综上，所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
题后反思：
例3:已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，
求圆C的方程．
解 设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴
5、m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
*例4: 已知圆，直线.
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
题后反思：
五、巩固练习:
1.直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为___________________．
y＝2x
2.设直线l过点(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的斜率是________．±
3.直线ax＋y－a＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是___
6、．相交
4.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.0
5.直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
[1，)
6.设M是圆上的点，则M点到直线的最短距离是 .
7．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
8．一个圆的圆心在直线x－y－1＝0上，与直线4x＋3y＋14＝0相切，在
3x＋4y＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程．
解 由圆心在直线x－y－1＝0上，可设圆心为(a，a－1)，半径为r，由题意可得
经计算得a＝2，r＝5，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
六、小结：
1.
2.
3.
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