1、
函数单调性教学设计
一、问题情境
1. 如图为某市一天内的气温变化图：
（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
2. 分别作出下列函数的图像：
（1）y＝2x． （2）y＝－x＋2． （3）y＝x2．
根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？
二、建立模型
1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析
观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上
2、升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？
以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f
3、x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．
注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．
2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
4、当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？
（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．
（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区
5、间上，它是增函数还是减函数．
强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．
三、解释应用
［例 题］
1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．
注：要规范解题格式．
2. 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．
思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？
3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．
证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，
∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1
6、f（x2）＞0．
又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．
［练 习］
1. 证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．
（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．
2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．
3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．
四、拓展延伸
1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．
3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？
4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．
（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．
（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？
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