1、函数单调性教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y2x（2）yx2（3）yx2根据三个函数图像，分别指出当x（，）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨观察分析观察函数y2x，yx2，yx2图像，可以发现：y2x在（，）上、yx2在（，）上的图像由左向右都是上升的；yx2在（，）上、yx2在（，）上的图像由左向右都是下降的函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质单调性
2、那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数yx2，x（，）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值yf（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x15，x23，这时有x1x2，f（x1）f（x2），但是这种量化并不精确因此，x1，x2应具有“任意性”所以，在区间（，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1），f（x2）当x1x2时，都有f（x1）f（x2）这时，我们就说f（x）x2在区间（，0）上是减函数注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量变化时对函数值y的影响必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳
3、和总结这里的“都有”是对应于“任意”的2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是增函数如图8-2（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是减函数如图8-2（2）如果函数yf（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作yf（x）的单调区间3. 提出问题，组织学生
4、讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（，0上是增函数，在区间（0，）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的三、解释应用例题1. 证明函数f（x）2x1，在（，）是增函数注：要规范解题格式2. 证明函数f（x），在区间（，0）和（0，）上都是减函数思考：能否说，函数f（x）在定义域（，0）（0，）上是减函数？3
5、. 设函数yf（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）在区间D上为减函数证明：设x1，x2，且x1x2，f（x）在区间D上保号，f（x1）f（x2）0又f（x）在区间D上为增函数，f（x1）f（x2）0，从而g（x1）g（x2）0，g（x）在D上为减函数练习1. 证明：（1）函数f（x）在（0，）上是增函数（2）函数f（x）x2x在（，上是减函数2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间3. 如果函数yf（x）是R上的增函数，判断g（x）kf（x），（k0）在R上的单调性四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测2. 判断二次函数f（x）ax2bxc，（a0）的单调性，并用定义加以证明3. 如果自变量的改变量xx2x10，函数值的改变量yf（x2）f（x1）0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率（1）根据函数的平均变化率判断yf（x）在区间D上是增函数还是减函数（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？
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