广东省茂名市2013年中考数学真题试题.doc

茂名市2013年数学中考试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.）
1、下列实数中，最小的数是（ ）
A、 B、3 C、 D、0
2、下列食品商标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

3、下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、下列事件中为必然事件的是（ ）
A、打开电视机，正在播放茂名新闻 B、早晨的太阳从东方升起
C、随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D下雨后，天空出现彩虹
5、如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是（ ）

6、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5（0.0000025）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物.将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、商店某天销售了13双运动鞋，其尺码统计如下表：
尺码（单位：码）
38
39
40
41
42
数量（单位：双）
2
5
3
1
2

则这13双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（ ）
A、39码、39码 B、39码、40码 C、40码、39码 D、40码、40码
8、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，，AD=2，则AC的长是（ ）
A、2 B、4 C、 D、

9、下列二次函数的图象，不能通过函数的图象平移得到的是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如图，小聪把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得，则的度数是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
11、计算：= ．
12、小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 ．

13、如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是 ．
14、如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角，半径OA=3，则弧AB的长度为 （结果保留）．
15、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，将，，从小到大排列并用“”连接为 ．

三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16、先化简，后求值：，其中.

17、解分式方程：.

18、在格纸上按以下要求作图，不用写作法：
（1）作出“小旗子”向右平移6格后的图案；
（2）作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转后的图案.

四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分.）
19、在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同.
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）

20、当前，“校园手机”现象已经受到社会广泛关注，某数学兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查.小文将调查数据作出如下不完整的整理：
（1）请求出共调查了多少人；并把小文整理的图表补充完整；
（2）小丽要将调查数据绘制成扇形统计图，则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度？
（第20题图）

频数分布表

五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分.）
21、如图，在□ABCD中，点E是AB变的中点，DE与CB的延长线交于点F.
（1）求证：；
（2）若DF平分，连接CE.试判断CE和DF的位置关系，并说明理由.

22、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点A（，3）和B（，）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围.

23、在信宜市某“三华李”种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元.
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案.

六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分.）
24、如图，在中，弦AB与弦CD相交于点G，于点E过点B的直线与CD的延长线交于点F，.
（1）若，求证：BF 是的切线；
（2）若，，请用表示的半径；
（3）求证：.

25、如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）.
（1）求的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC.在轴下方的抛物线上求一点M，使与的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，.
探究：是否存在一点N，使的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和的最大值；若不存在，请简单说明理由.
广东省茂名市2013年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．A　
2．A
3．C　
4．B　
5．D　
6．B　
7．A　
8．B　
9．D　
10．C

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
11．　　．

12．　小李　．

13．　　．

14．　2π　．

15．　b＞c＞a　．

三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16．解：原式=a6﹣a6+a6=a6，
当a=﹣1时，原式=1．

17．解：去分母得：3x=4x﹣4，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．

18．解；（1）如图所示：蓝色小旗子即为所求；

（2）如图所示：黄色小旗子即为所求．

四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分.）
19．解：（1）∵2个红球，1个白球，
∴中奖的概率为；

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有6种情况，都是红球的有2种情况，
所以，P（都是红球）==，
即中特别奖的概率是．

20．解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，
故调查的人数为：40÷0.8=50人；
无所谓的频数为：50﹣5﹣40=5人，
赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8=0.1；
看法
频数
频率
赞成
5
0.1
无所谓
5
0.1
反对
40
0.8
统计图为：

（2）∵赞成的频率为：0.1，
∴扇形图中“赞成”的圆心角是360°×0.1=36°；

五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分.）
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE．
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF．

22．解：（1）将A（m，3），B（﹣3，n）分别代入反比例解析式得：3=，n=，
解得：m=2，n=﹣2，
∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），
将A与B代入一次函数解析式得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+1；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴由函数图象得：反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜2．

23．解：（1）设A种树苗每株x元，B中树苗每株y元，由题意，得
，
解得：，
答：A种树苗每株8元，B中树苗每株6元；
（2）设A种树苗购买a株，则B中树苗购买（360﹣a）株，共需要的费用为W元，由题意，得
，
由①，得
a≥120．
由②，得
W=2a+2160．
∵k=2＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴a=120时，W最小=2400，
∴B种树苗为：360﹣120=240棵．
∴最省的购买方案是：A种树苗购买120棵，B种树苗购买240棵．

六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分.）
24． （1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，
即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F，
∵CD=a，OA⊥CD，
∴CE=CD=a，
∵tan∠F=，
∴tan∠ACF==，
即=，
解得AE=a，
连接OC，设圆的半径为r，则OE=r﹣a，
在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，
即（a）2+（r﹣a）2=r2，
解得r=a；

（3）证明：连接BD，
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），
∴∠DBG=∠F，
又∵∠F=∠F，
∴△BDG∽△FBG，
∴=，
即GB2=DG•GF，
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，
即GF2﹣GB2=DF•GF．

25．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），
∴9a﹣×3+2=0，
解得a=﹣，
∴y=﹣x2﹣x+2，
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，
∴顶点坐标为（﹣，）；

（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，
与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
又∵当x=0时，y=2，
∴C点坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
∵S△AMC=S△ABC，
∴点B与点M到AC的距离相等，
又∵点B与点M都在AC的下方，
∴BM∥AC，
设直线BM的解析式为y=x+n，
将点B（3，0）代入，得×3+n=0，
解得n=﹣1，
∴直线BM的解析式为y=x﹣1．
由，解得，，
∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；

（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：
∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．
连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，
得，，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，
当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3，
∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC==．

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