测量学4分解.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,测量学,第五章 测量误差的基本知识,5.1,测量误差,概述,5.2,衡量精度的指标,5.3,误差传播定律,5.4,等精度直接观测的最可靠值,测量实践中可以发现，测量结果不可避免的,存在误差,，比如：,1,、对同一量多次观测，其观测值不相同。,2,、观测值之和不等于理论值：,三角形,+,+,180,闭合水准,h0,误差,就是,观测值与客观真实值之差,。用重复观测的方法可以发现误差的存在。,研究测量误差的目的是找出误差产生的原因，找出减弱误差的对策，保证测量成果达到必需的精度。,5.1,概述,一、误差的来源,二、误差的分类,系统误差,偶然误差,定义,特点,消除办法,一、测量误差来源,仪器条件,观测者的自身条件,外界条件,通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为,观测条件,。,等精度观测,:,观测条件相同的各次观测。,不等精度观测,:,观测条件不同的各次观测。,定义：,在相同的观测条件下，对某量进行了,n,次观测，如果,误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化。,产生的主要原因：,是,仪器设备制造不完善。,二、系统误差,例：,钢尺,尺长、温度、倾斜改正,水准仪,i,角,经纬仪,c,角、,i,角,注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。,消除和削弱的方法,:,（,1,）用计算的方法加以改正；,（,2,）用一定的观测方法加以消除；,（,3,）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）,三、偶然误差,定义：,在相同的观测条件下，对某量进行了,n,次观测，如果误差出现的,大小和符号均不定,，称为偶然误差（随机误差）。,偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加以控制。,就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。但随着观测次数的增多，偶然误差会呈现出一定的,统计规律,。,三角形内角和观测,误差区间,为正,为负,总数,0.00.2,21,21,42,0.20.4,19,19,38,0.40.6,15,12,27,0.60.8,9,11,20,0.81.0,9,8,17,1.01.2,5,6,11,1.21.4,1,3,4,1.41.6,1,2,3,1.6,以上,0,0,0,累计,80,82,162,偶然误差的特性：,有界性,密集性,对称性,抵偿性：即,频率直方图,每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数。所有长方形面积之和等于,1,。,密度函数法,误差概率分布,曲线，也称为,正态分布,密度曲线。,密度函数法,密度函数为,式中,0,，表示与观测条件有关的参数。,E,（,）,=0,D,（,）,=,2,5.2,衡量精度的指标,精密度（精度）：指对一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。精度高低主要取决于偶然误差的大小,。,偶然误差小，观测结果密集，精度高。,评定精度的标准,中误差,容许误差,相对误差,一、方差,设对某一未知量,x,进行了,n,次等精度的观测，其观测值为,l,1,、,l,2,、,、,l,n,，,相应的真误差为,1,、,2,、,n,，,则定义该组观测值的方差,D,为：,式中,1,2,+,2,2,+,.,+,n,2,i,=l,i,X,（,i,1,、,2,、,3,、,.,、,n,）,X,为未知量的真值,。,由于,D,2,所以,D,。,称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。,当,n,为有限时，,的估值在测量中常用,m,来代替。,二、,中误差,中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进行,n,次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根，称为中误差。用,m,表示。,式中：,例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。,解：第一组观测值的中误差：,第二组观测值的中误差：,说明第一组的精度高于第二组的精度。,说明：中误差越小，观测精度越高,相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一组中的每一个观测值都具有相同的精度。,中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把,m,称为观测值中误差或一次观测中误差。,设有不同精度的两组观测值，对应的参数为,1,和,2,。设,1,2,，根据误差概率分布曲线，,1,对应的曲线峰值比较高，曲线陡峭；,2,对应的曲线峰值比较小，曲线平缓，,说明,值越小，观测精度越高。,中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。,在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。,分别丈量两段不同距离，一段为,100m,，一段为,200m,，中误差都是,0.02m,。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？,必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。,相对误差,K,是中误差的绝对值,m,与相应观测值,D,之比，通常以分子为,1,的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即,:,一般情况,:,角度、高差的误差用,m,表示，,量距误差用,K,表示。,三、相对误差,例,已知：,D,1,=100m,m,1,=0.01m,，,D,2,=200m,m,2,=0.01m,，求：,K,1,K,2,解：,四、极限误差,根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为,极限误差,，简称限差。,限差是偶然误差限制值，用作观测成果取舍的标准。,理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的,4.5%,，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的,0.3%,。,测量中通常取,2,倍或,3,倍中误差作为偶然误差的容许误差；,即,容,=2,m,或,容,=3,m,极限误差的作用：,区别误差和错误的界限。,5,3,误差传播定律,误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值,函数中误差的关系的定律。,函数形式,倍数,函数,和差,函数,线性,函数,一般,函数,5,3,误差传播定律,一、线性函数,1,、倍数函数,设有函数,Z,=,Kx,，,x,为直接观测值，中误差为,m,x,，,K,为常数，,Z,为观测值,x,的函数。如果对,x,作,n,次等精度观测，真误差分别为,x1,、,x2,、,.,xn,，对应的函数真误差为,Z1,、,Z2,、,.,Zn,，观测值与函数间的真误差存在如下关系,：,将上述关系式,平方,、,求和,、,除以,n,得：,设有函数,Z,=,x,y,，,x,、,y,是两个相互独立的观测值，均作,n,次观测，,中误差分别为,m,x,和,m,y,，真误差关系式为,2,、和差函数,由于,x,、,y,是相互独立的，偶然误差,x,、,y,出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积,x,y,也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当,n,趋于无穷大时，第三项趋于零。,推广到,n,个独立观测值代数和差：,当,n,个独立观测值是等精度观测时：,3,、一般线性函数,根据倍数函数与和差函数的中误差公式：,设非线性函数的一般式为：,式中：为,独立观测值,；,为独立观测值的中误差。,求函数的全微分，并用,“,”,替代,“,d,”,，得,二、一般函数,式中：是函数,F,对 的偏导,数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：,例,已知：测量斜边,D=50.000.05m,，测得倾角,=15000030,求：水平距离,D,的中误差？,解：,1.,函数式,2.,全微分,3.,求中误差,1.,列出观测值函数的表达式：,2.,对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：,式中，是用观测值代入求得的值。,求观测值函数中误差的步骤：,三、运用误差传播定律的步骤,3,、根据误差传播率计算观测值函数中误差：,注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是,独立,观测值。,例如，设有函数,z=x,y,，而,y=3x,，此时，。因为,x,与,y,不是独立观测值，因为不论,n,值多少，恒有,因此，应把,Z,化成独立观测值的函数，即,z=x+3x=4x,上式中,X,与,3X,两项是由同一个观测值,X,组成的，必须先并项为,z=4x,而后求其中误差，即,m,z,=4m,x,例题,1.,已知,设,L,1,和,L,2,为独立观测值，且中误差均为,m,，试求,X,、,Y,、,Z,的中误差。,解：,1,）函数式：,2,）取全微分：,3,）根据误差传播定律：,X=L,1,+L,2,解：,1,）函数式：,2,）取全微分：,3,）根据误差传播定律：,Y=,（,L,1,-L,2,）,/2,解：,1,）函数式：,2,）取全微分：,3,）根据误差传播定律：,Z=X-Y,误差传播定的几个主要公式：,函数名称,函数式,函数的中误差,倍数函数,和差函数,线性函数,一般函数,5.4,等精度直接观测的最可靠值,一、求最可靠值,二、算术平均值中误差,m,L,三、用改正数计算中误差,四、精度评定,一、求最可靠值,设在相同的观测条件下对未知量观测了,n,次，观测值为,l,1,、,l,2,l,n,，中误差为,m,1,、,m,2,m,n,，则其,算术平均值,L,为未知量的最可靠值（最或然值、似真值）,设未知量的真值为,x,，可写出观测值的真误差公式为,将上式相加得,故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当观测次数,无限增多时，,即,（算术平均值）,说明，,n,趋近无穷大时，,算术平均值,即为真值。,因为,式中，,1,n,为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为,m,。,设平均值的中误差为,m,L,，则有,二、算术平均值中误差,m,L,由此可知，算术平均值的中误差为观,测值的中误差的 倍,。,故,三、用改正数计算中误差,四、精度评定,直接观测的量，经过多次观测后，可通过,真误差,或,改正数,计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。,第一公式,第二公式,（白塞尔公式）,条件：观测值真值,X,已知,条件：观测值真值,X,未知，算术平均值,L,已知,其中,观测值改正数，,例题：设用经纬仪测量某个角,6,测回，观测之列于,表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。,算术平均值,L,中误差是：,返回,本章作业,P,90,：,1,、,3,、,4,、,6,、,7,、,8,