【北师大版】数学九年级上学期《期末测试题》附答案解析.docx

2020-2021 学年第一学期期末测试
九年级数学试题
学校________
班级________
姓名________
成绩________
一、选择题：
1.sin30°的值为(
)
1
A.
3
2
2
3
B.
C.
D.
2
2
3
DABC如图,则下列 4 个三角形中,与DABC
相似的是（ ）
2.已知
A.
B.
D.
C.
k
3.反比例函数 y=
(k>0)在第一象限内的图象如图,点 M 是图象上一点,MP 垂直 x 轴于点 P,如果 MOP 的
△
x
面积为 1,那么 k 的值是（）
A. 1

B. 2
的解是
C. 4
D.
2
4.方程(x - 2)(x + 3) = 0

x = -3
x = -2,x = 3
x = 2, x = -3
D.
A. x = 2
B.
C.
1
2
1
2
5. Rt△ABC 中,∠C=90°,tan A=3,AC等于 10,则 S△ABC 等于(
)
50
A. 3
B. 300
C.
D. 150
3
6.抛物线 y＝﹣（x﹣2） ﹣1 的顶点坐标是（
）
2
A. （﹣2,1）
B. （﹣2,﹣1）
C. （2,1）
D. （2,﹣1）
的
7.面积为 2 的△ABC,一边长为 x,这边上的高为 y,则 y 与 x 的变化规律用图象表示大致是(
)
A.
B.
的
C.
D.
8.如图,一辆小车沿倾斜角为
斜坡向上行驶 13 米,已知
,则小车上升的高度是（ ）
A. 5 米
B. 6 米
C. 6.5 米
D. 12 米
9.如图,在⊙O 中,弦 AC∥半径 OB,∠BOC=50°,则∠OAB 度数为（
）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 30°
10.在一个不透明的袋中有除颜色外没有其他区别的2 个黄球和 2 个红球,从袋中任意摸出一个球,然后放回
搅匀,再从袋中任意摸出一个球．那么两次摸到黄球的概率是 （）
1
2
1
4
1
6
1
8
A.
B.
C.
D.
11.如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为 1,则△BCD 的面积
为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.如图是二次函数 y=ax +bx+c 的图象,下列结论：①二次三项式 ax +bx+c 的最大值为 4；②4a+2b+c＜0；
2
2
③一元二次方程 ax +bx+c=1 的两根之和为﹣1；④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）．
2
A 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空
13.抛物线 y＝﹣x ﹣2x+3 与 x 轴交点为_____．
2
14.如图,点 D（0,3）,O（0,0）,C（4,0）,B 在⊙A 上,BD 是⊙A 的一条弦．则 sin∠OBD＝_____．
15.计算：tan45°﹣2cos60°=________．
16.已知扇形的圆心角为120
,面积为3π,则扇形的半径是__________．
17.如图,直角坐标平面内,小明站在点 A（﹣10,0）处观察 y 轴,眼睛距地面 1.5 米,他的前方 5 米处有一堵
墙 DC,若墙高 DC＝2 米,则小明在 y 轴上的盲区（即 OE 的长度）为_____米．
18.△ ABC 中,AB=CB,AC=10,S△ ABC=60,E 为 AB 上一动点,连结 CE,过 A 作 AF⊥CE 于 F,连结 BF,则 BF 的最小值
是_____．

三、解答题：
19.计算：tan 60°﹣2cos60°﹣
sin45°
2
2
20.解方程：x ﹣2x﹣8＝0．
2
21.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,过点 C 作 BD 的平行线,过点 D 作 AC 的平行线,两直
线相交于点 ,判断四边形 的形状,并说明理由．
E OCED
22.如图,△ABC 中,∠B=90°,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向
点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果点 P,Q分别从点 A,B 同时出发,经几秒钟,使△PBQ 的面积等于 8cm ？
2
23.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连结 AC 交⊙O 于点 F．
（1） 与
AB AC
的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若 AB=8,∠BAC=45°,求：图中阴影部分的面积．
24.布袋里有四个小球,球表面分别标有 2、3、4、6 四个数字,它们的材质、形状大小完全相同．从中随机

摸出一个小球记下数字为 ,再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字为 ,点 的坐标为（ , ）．运用
x
y
A
x y
12
画树状图或列表的方法,写出 点所有可能的坐标,并求出点 在反比例函数 y
图象上的概率．
A
A
x
6
25.直线 y=kx+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m,3）和点 B（6,n）,与坐标轴分别交
x
于点 C 和点 D．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）若点 P 是 x 轴上一动点,当△COD 与△ADP 相似时,求点 P 的坐标．
26.如图,在 Rt△ ABC 中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀
速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个
点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时间是 ts．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,连接 DE、EF．
（1）用 t 的代数式表示：AE=
；DF=
；
（2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能,求出相应的 t 值；如果不能,请说明理由；
（3）当 t 为何值时,△ DEF 为直角三角形？请说明理由．
27.如图,抛物线 y﹣x2+bx+c 经过直线 y=﹣x+3 与坐标轴的两个交点 A、B,与 x 轴的另一个交点为 C,顶点为
D
（1）求抛物线 解析式；
（2）画出抛物线 图象；
（3）在 x 轴上是否存在点 N 使△ ADN 为直角三角形？若存在,求出点 N 的坐标；若不存在,请说明理由．

答案与解析
一、选择题：
1.sin30°的值为(
)
1
A.
3
2
3
B.
C.
D.
2
2
2
3
【答案】A
【解析】
1
根据特殊角三角函数值可得：sin30°＝ .
2
故选 A.
DABC如图,则下列 4 个三角形中,与DABC
相似的是（ ）
2.已知
A.
C.
B.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．
【详解】解: ∵AB=AC=6,∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°,

对于 A 选项,如下图所示
AB AC 6
∵
∴
,但∠A≠∠E
EF ED 5
DABC与△EFD 不相似,故本选项不符合题意；
对于 B 选项,如下图所示
∵DE=DF=EF
∴△DEF 是等边三角形
∴∠E=60°
AB AC 6
∴
,但∠A≠∠E
EF ED 5
∴
DABC与△EFD 不相似,故本选项不符合题意；
对于 C 选项,如下图所示
AB AC 6
∵
∴
,∠A=∠E=30°
EF ED 5
DABC∽△EFD,故本选项符合题意；
对于 D 选项,如下图所示

AB AC 6
DE DF 5
∵
∴
,但∠A≠∠D
DABC与△DEF 不相似,故本选项不符合题意；
故选 C．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定,掌握有两组对应边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似是
解决此题的关键．
k
3.反比例函数 y=
(k>0)在第一象限内的图象如图,点 M 是图象上一点,MP 垂直 x 轴于点 P,如果△MOP 的
x
面积为 1,那么 k 的值是（）
A. 1
B. 2
C. 4
D.
2
【答案】B
【解析】
1
【详解】由题意得：S△MOP
故选 B.
= |k|=1 k=±2
,
,又因为 k>0,所以 k=2．
2
4.方程(x - 2)(x + 3) = 0
的解是
x = -3
x = -2,x = 3
x = 2, x = -3
A. x = 2
B.
C.
D.
1
2
1
2
【答案】D
【解析】
(x - 2)(x + 3) = 0 Þ x - 2 = 0，x + 3 = 0 Þ x = 2, x = -3
．故选 D．
1
2
5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,tan A=3,AC等于 10,则 S△ABC 等于(
)
50
A. 3
B. 300
C.
D. 150
3
【答案】D

【解析】
【分析】
BC
AC
根据 tan =
=3 即可求得 BC 的长,进而求出面积．
A
BC
【详解】∵tan =
=3,
A
AC
∴ = ⋅tan =10×3=30,
BC AC
A
1
2
1
∴S△ABC=
= ×10×30=150.
⋅
AC BC
2
故选 D.
【点睛】本题考查了解直角三角形.掌握正切的概念是解题的关键.
6.抛物线 y＝﹣（x﹣2） ﹣1 的顶点坐标是（
）
2
A. （﹣2,1）
【答案】D
【解析】
B. （﹣2,﹣1）
C. （2,1）
D. （2,﹣1）
【分析】
二次函数表达式中的顶点式是： y=a(x﹣h) +k（a≠0,且 a,h,k 是常数） ,它的对称轴是 x=h,顶点坐标是
2
（h,k）．据此即可得答案.
【详解】抛物线 y＝﹣(x﹣2) ﹣1 的顶点坐标是（2,﹣1）．
2
故选 D．
【点睛】本题考查二次函数的性质,二次函数表达式中的顶点式是：y=a(x﹣h) +k（a≠0,且 a,h,k 是常数）,
2
它的对称轴是 x=h,顶点坐标是（h,k）．
7.面积为 2 的△ABC,一边长为 x,这边上的高为 y,则 y 与 x 的变化规律用图象表示大致是(
)
A.
C.
B.
D.
【答案】B
【解析】

【分析】
1
4
k
由△ABC 面积及一边长为x,这边上的高为y 可得关系式,即2= xy,y= （x＞0）．根据反比例函数y=
2
x
x
的图象是双曲线,当 k＞0 时,它的两个分支分别位于第一、三象限,因为 x＞0,所以其图象在第一象限,即可
的
得出答案．
1
【详解】解：∵ xy=2
2
4
∴y=
（x＞0,y＞0）
x
故选B．

k
【点睛】此题需要根据反比例函数的性质解答：反比例函数y= 的图象是双曲线,当k＞0 时,它的两个分支
x
分别位于第一、三象限；当k＜0 时,它的两个分支分别位于第二、四象限．
8.如图,一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13 米,已知
,则小车上升的高度是（ ）
A. 5米
B. 6米
C. 6.5 米
D. 12米
【答案】A
【解析】
试题解析：如图AC=13,作CB⊥AB,
∵cosα=
,
∴AB=12,
∴BC=
=13 ﹣12 =5,
2
2
∴小车上升的高度是5m．
故选A．

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

9.如图,在⊙O 中,弦 AC∥半径 OB,∠BOC=50°,则∠OAB 的度数为（
）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 30°
【答案】A
【解析】
如图,∵∠BOC=50°,
∴∠BAC=25°,
∵AC∥OB,
∴∠OBA=∠BAC=25°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=25°.
故选 A.
10.在一个不透明的袋中有除颜色外没有其他区别的2 个黄球和 2 个红球,从袋中任意摸出一个球,然后放回
搅匀,再从袋中任意摸出一个球．那么两次摸到黄球的概率是 （）
1
2
1
4
1
6
1
8
A.
B.
C.

D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出树状图,列举出所有情况,看两次都摸到黄球的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】画树状图如下：
1
共有 16 种情况,两次都摸到黄球的情况数是 4 种,所以概率为 ．
4
故选 B．

【点睛】本题考查了画树状图解决概率问题．找到两次都摸到黄球的情况数是解决本题的关键；用到的知
识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
11.如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为 1,则△BCD 的面积
为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
AC AD 1
=
=
∴
∴
,
AB AC 2
æ
ö
2
S
S
AD
=
=
,
ç
÷
ACD
ABC
è AC ø
1
1
æ ö
2
∴
,
ç ÷
S
2
è ø
ABC
∴S△ABC=4,
∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=3．
故选 C
考点：相似三角形的判定与性质.
12.如图是二次函数 y=ax +bx+c 的图象,下列结论：①二次三项式 ax +bx+c 的最大值为 4；②4a+2b+c＜0；
2
2
③一元二次方程 ax +bx+c=1 的两根之和为﹣1；④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）．
2
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B

【解析】
试题解析：∵抛物线的顶点坐标为（-1,4）,∴二次三项式 ax +bx+c 的最大值为 4,①正确；
2
∵x=2 时,y＜0,∴4a+2b+c＜0,②正确；
根据抛物线的对称性可知,一元二次方程 ax +bx+c=1 的两根之和为-2,③错误；
2
使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0 或 x≤-2,④错误,
故选 B．
考点：1.二次函数的图象；2.二次函数图象与系数的关系；3.二次函数的最值；4.抛物线与 x 轴的交点；5.
二次函数与不等式（组）．
二、填空
13.抛物线 y＝﹣x ﹣2x+3 与 x 轴交点为_____．
2
【答案】（﹣3,0）,（1,0）
【解析】
【分析】
令 y=0 可得关于 x 的一元二次方程,解方程求出 x 的值即可得答案.
【详解】当 y＝0,则 0＝﹣x ﹣2x+3,
2
∴x +2x﹣3＝0,
2
（x+3）（x﹣1）＝0,
解得：x ＝﹣3,x ＝1,
1
2
∴抛物线 y＝﹣x ﹣2x+3 与 x 轴交点为：（﹣3,0）,（1,0）．
2
故答案为：（﹣3,0）,（1,0）
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点．求二次函数 y=ax +bx+c（a,b,c 是常数,a≠0）与 x 轴的交点坐标,
2
令 y=0,即 ax +bx+c=0,解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
2
14.如图,点 D（0,3）,O（0,0）,C（4,0）,B 在⊙A 上,BD 是⊙A 的一条弦．则 sin∠OBD＝_____．
3
【答案】
5
【解析】

【分析】
连接 CD,由 C、D 坐标可得 OC、OD 的长,利用勾股定理可求出 CD 的长,根据圆周角定理可得∠OBD＝
∠OCD,根据正弦的定义求出∠OCD 的正弦值即可得答案.
【详解】连接 CD,
∵D（0,3）,C（4,0）,
∴OD＝3,OC＝4,
∴CD＝5,
∵∠OBD 和∠OCD 是
∴∠OBD＝∠OCD,
所对的圆周角,
OD
OD 3
＝ ,
∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝
CD 5
3
故答案 ：
5
【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理、以及锐角三角函数 定义,根据圆周角定理得出∠OBD＝∠OCD
是解题关键.
的
15.计算：tan45°﹣2cos60°=________．
【答案】0
【解析】
【分析】
把特殊角的三角函数值代入计算即可.
1

【详解】根据三角函数可得：tan45°=1,cos60°= ,
2
1
则 tan45°-2cos60°=1-2× =0．
2
故答案为 0.
16.已知扇形的圆心角为120
【答案】3
,面积为3π,则扇形的半径是__________．
【解析】

π 2
n R
= 3
．
=
由扇形面积 S
,得 R
360
17.如图,直角坐标平面内,小明站在点 A（﹣10,0）处观察 y 轴,眼睛距地面 1.5 米,他的前方 5 米处有一堵
墙 DC,若墙高 DC＝2 米,则小明在 y 轴上的盲区（即 OE 的长度）为_____米．
【答案】2.5

【解析】
BN DN
=
BM EM
【详解】首先作出 BM⊥EO,得出△BND∽△BME,即可得出
,再利用已知得出 BN,BM,DN 的
长,即可求出 EM,进而求出 EO 即可．
解：过点 B 作 BM⊥EO,交 CD 于点 N,
∵CD∥EO,
∴△BND∽△BME,
BN DN
=
BM EM
∴
,
∵点 A（﹣10,0）,
∴BM=10 米,
∵眼睛距地面 1.5 米,
∴AB=CN=MO=1.5 米,
∵DC=2 米,
∴DN=2﹣1.5=0.5 米,
∵他的前方 5 米处有一堵墙 DC,
∴BN=5 米,
5 0.5
=
∴
,
10 EM
∴EM=1 米,
∴EO=1+1.5=2.5 米．
故答案为 2.5．

18.△ ABC 中,AB=CB,AC=10,S△ ABC=60,E 为 AB 上一动点,连结 CE,过 A 作 AF⊥CE 于 F,连结 BF,则 BF 的最小值
是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
过 B 作 BD⊥AC 于 D,根据 S△ABC=60,计算 BD 的长,由∠AFC=90°,可知 F 在以 AC 为直径的圆上,由三角形
三边关系得：BF+DF＞BD,则当 F 在 BD 上时,BF 的值最小,求 BF'的长即可.
【详解】解：过 B 作 BD⊥AC 于 D,
∵AB=BC,
1
∴AD=CD= AC=5,
2
∵S△ABC=60,
1
2
1
∴
×AC×BD＝60,即 ×10×BD＝60,
2
解得 BD=12,
∵AF⊥CE,
∴∠AFC=90°,
∴F 在以 AC 为直径 圆上,
∵BF+DF＞BD,且 DF=DF',

∴当 F 在 BD 上时,BF 的值最小,
此时 BF'=12-5=7,
则 BF 的最小值是 7,
故答案为 7.
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、圆周角定理、三角形面积,确定 BF 的最小值时点 F 的位
置是关键.
三、解答题：
19.计算：tan 60°﹣2cos60°﹣ 2 sin45°
2
【答案】1
【解析】
【分析】
把特殊三角函数值代入原式,根据实数的运算法则计算即可得答案.
1
2
【详解】原式＝（ 3 ） ﹣2× ﹣ 2 ×
2
2
2
＝3﹣1﹣1
＝1．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20.解方程：x ﹣2x﹣8＝0．
2
【答案】x ＝4,x ＝﹣2．
1
2
【解析】
【分析】
用十字相乘法进行因式分解,或配方法求解可得．
【详解】十字相乘法：
解 ：（ ﹣4）（ +2）＝0,
x
x
﹣4＝0 或 +2＝0,
x
x
所以 ＝4, ＝﹣2．
x
x
1
2
配方法：
（ -1） =9
x
2
x-1=3
或 -1=-3
x
所以 ＝4, ＝﹣2．
x
x
1
2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因
式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,过点 C 作 BD 的平行线,过点 D 作 AC 的平行线,两直
线相交于点 ,判断四边形
E
的形状,并说明理由．
OCED
【答案】平行四边形
是矩形理由见解析.
OCED
【解析】
【分析】
证明四边形 OCED 是矩形,首先证明四边形 OCED 是平行四边形,然后证明有一内角为 90 度即可．
【详解】解：平行四边形 是矩形,理由如下：
OCED
∵四边形
是菱形,
ABCD
∴ ⊥ ,
AC BD
∴∠COD＝90°．
∵ ∥ , ∥ ,
CE OD DE OC
∴四边形
是平行四边形,
OCED
又∠COD＝90°,
∴平行四边形
是矩形．
OCED
【点睛】本题考查矩形的判定方法,菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的性质以及矩形的判定方法．
22.如图,△ABC 中,∠B=90°,点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向
点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果点 P,Q分别从点 A,B 同时出发,经几秒钟,使△PBQ 的面积等于 8cm ？
2
【答案】经过 2 秒或 4 秒时△PBQ 的面积为 8 cm .
2
【解析】

【分析】
设移动时间为 t 秒,则 BQ＝2t,AP＝t,PB＝6−t,利用三角形面积公式表示 S△PBQ,利用二次函数的性质解题．
【详解】设移动时间为 t 秒,则 BQ＝2t,AP＝t,PB＝6−t,
1
1
依题意,得 S△PBQ
＝ ×PB×BQ＝ ×（ ）×2t＝ ＋6t,
6−t −t
2
2
2
当 S△PBQ
＝8 时,−t ＋6t＝8 t ＝2,t ＝4,
,解得
2
1
2
∴经 2 秒或 4 秒钟,△PBQ 的面积等于 8cm .
2
【点睛】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意,列出相应的函数关系式,运用二次函数的性质解题．
23.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连结 AC 交⊙O 于点 F．
（1） 与
AB AC
的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若 AB=8,∠BAC=45°,求：图中阴影部分的面积．
【答案】（1 = ；（2） p
2 - 4 2
．
AB AC
【解析】
【分析】
（1）连接 AD,根据圆周角定理可以证得 AD 垂直且平分 BC,然后根据垂直平分线的性质证得 AB＝AC；
（2）连接 OD、过 D 作 DH⊥AB,根据扇形的面积公式解答即可．
【详解】（1） = ．理由是：连接 AD．
AB AC
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,
又∵ = ,∴ = ；
DC BD AB AC
（2）连接
、过 作
OD D
⊥ ．
DH AB

∵AB=8,∠BAC=45°,
∴∠BOD=45°,OB=OD=4,
∴DH2
,
2
1
2
´4´2 2 = 4 2
∴△OBD 面积=
45×p ×42
= 2p
,
扇形
的面积=
OBD 的
360
阴影部分面积= p
2 - 4 2
．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理,理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关
键．
24.布袋里有四个小球,球表面分别标有 2、3、4、6 四个数字,它们的材质、形状、大小完全相同．从中随机
摸出一个小球记下数字为 ,再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字为 ,点 的坐标为（ , ）．运用
x
y
A
12
x
x y
=
画树状图或列表的方法写出 点所有可能的坐标,并求出点 在反比例函数 y
图象上的概率．
A
A
1
3
【答案】
【解析】
试题分析：先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,然后写出 12 个点的坐标；根据反比例函数图象上点
12
=
的坐标特征可判断有两个点在函数 y
图象上,然后根据概率公式求解．
x
试题解析：
依题意列表得：
x
y
2
3
4
6
2
3
4
6
(2,3)
(2,4)
(3,4)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(3,2)
(4,2)
(6,2)
(4,3)
(6,3)
(6,4)
12
=
由上表可得,点 A 的坐标共有 12 种结果,其中点 在反比例函数 y
上的有 4 种：
A
x
12
4 1
y =
上的概率为 = ．
(2,6)、（3,4）、（4,3）、（6,2）,∴点 A 在反比例函数
x
12 3

6
25.直线 y=kx+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m,3）和点 B（6,n）,与坐标轴分别交
x
于点 C 和点 D．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）若点 P 是 x 轴上一动点,当△COD 与△ADP 相似时,求点 P 的坐标．
1
1
【答案】（1）直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4；（2）满足条件的点 P 坐标为（2,0）或（ ,0）．
2
2
【解析】
6
【详解】（1）∵y=kx+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m,3）和点 B（6,n）,
x
∴m=2,n=1,
∴A（2,3）,B（6,1）,
ì2k + b = 3
则有 í
,
î6k + b =1
1
2
b = 4
ì
= -
ïk
解得 í
,
ï
î
1
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4；
2
（2）如图
①当 PA⊥OD 时,∵PA∥OC,
∴△ADP∽△CDO,
此时 p（2,0）．
②当 AP′⊥CD 时易知△P′DA∽△CDO,
1
∵直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4,
2

∴设直线 P′A 的解析式为 y=2x+b,
代入（2,3）得 3=2×2+b,
解得：b=-1,
∴直线 P′A 的解析式为 y=2x﹣1,
1
令 y=0,解得 x= ,
2
1
∴P′（ ,0）,
2
1
综上所述,满足条件的点 P 坐标为（2,0）或（ ,0）．
2
26.如图,在 Rt△ ABC 中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀
速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个
点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时间是 ts．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,连接 DE、EF．
（1）用 t 的代数式表示：AE=
；DF=
；
（2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能,求出相应的 t 值；如果不能,请说明理由；
（3）当 t 为何值时,△ DEF 为直角三角形？请说明理由．
15
【答案】（1）2t,2t；（2）当 t=10 时, AEFD 是菱形；（3）当 t= s 或 12s 时,△DEF 是直角三角形．
2
【解析】
试题分析：
1
1
（1）由已知易得∠C=30°,∠DFC=90°,这样结合已知条件即可得到：DF= CD= 2t,AE=2t；
2
2
（2）由（1）可知,AE=DF,结合 AE∥DF 可得四边形 AEFD 是平行四边形,由此可得当 AD=AE,即 60-4t=2t
时,四边形 AEFD 是菱形,解此关于 t 的方程即可求得对应的 t 的值；
（3）如图 1 和图 2,根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况结合已知条件分析、计算即可得到对应的
t 的值.
试题解析：
（1）∵直角△ ABC 中,∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t,AE=2t,

又∵在直角△CDF 中,∠C=30°,
1
∴DF= CD=2t,
2
故答案为 2t,2t；
（2）∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB,
由（1）得：DF=AE=2t,
∴四边形 AEFD 是平行四边形,
当 AD=AE 时,四边形 AEFD 是菱形,
即 60﹣4t=2t,
解得：t=10,
即当 t=10 时, AEFD 是菱形；
（3）分两种情况：
①当∠EDF=90°时,如图 1,DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t,
∴DF=2t=AE,
∴AD=4t,
∴4t=60﹣4t,
15
∴t=
2
②当∠DEF=90°时,如图 2,DE⊥EF,

∵四边形 AEFD 是平行四边形,
∴AD∥EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE 是直角三角形,∠ADE=90°,
∵∠A=60°,
∴∠DEA=30°,
1
∴AD= AE,
2
∴60﹣4t=t,
解得 t=12．
15
综上所述,当 t= s 或 12s 时,△ DEF 是直角三角形．
2
27.如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 经过直线 y=﹣x+3 与坐标轴的两个交点 A、B,与 x 轴的另一个交点为 C,顶点为
2
D
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出抛物线的图象
（3）在 x 轴上是否存在点 N 使△ ADN 为直角三角形？若存在,求出点 N 的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x +2x+3．（2）图象见解析；（3）点 N 的坐标为（1,0）或（﹣7,0）．
2
【解析】
【分析】
（1）先求得点 A 和点 B 的坐标,然后将点 A 和点 B 的坐标代入抛物线的解析式求得 b,c 的值即可；

（2）依据抛物线解析式为 y=-x +2x+3,列表,描点,连线即可；
2
（3）先利用配方法求得点 D 的坐标,当∠DNA=90°时,DN⊥OA,可得到点 N 的坐标,从而得到 AN=2,然后
再求得 AD 的长；当∠N′DA=90°时,依据 sin∠DN′A=sin∠ADN 可求得 AN′的长,从而可得到 N′的坐标．
【详解】解：（1）将 x=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：y=3,
∴B（0,3）．
将 y=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：﹣x+3=0,
解得 x=3,
即 A（3,0）．
将点 A 和点 B 的坐标代入 y=﹣x +bx+c,得：
2
ì-9 + 3b + 3＝0
í
,
c＝3
î
解得：b=2,c=3．
∴抛物线的解析式为 y=﹣x +2x+3．
2
（2）列表：
抛物线的图象如下：
（3）∵y=﹣x +2x+3=﹣（x﹣1） +4,
2
2
∴D（1,4）．
①当∠DNA=90°时,如图所示：

∵∠DNA=90°时,
∴DN⊥OA．
又∵D（1,4）
∴N（1,0）．
∴AN=2．
∵DN=4,AN=2,
∴AD=2 5 ．
②当∠N′DA=90°时,则∠DN′A=∠NDA．
AD AN
=
∴
即
,
AN ' AD
2 5
2
=
,
AN '
2 5
解得：AN′=10．
∵A（3,0）,
∴N′（﹣7,0）．
综上所述,点 N 的坐标为（1,0）或（﹣7,0）．
【点睛】考查的是二次函数的应用,解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形
的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（2）依据抛物线解析式为 y=-x +2x+3,列表,描点,连线即可；
2
（3）先利用配方法求得点 D 的坐标,当∠DNA=90°时,DN⊥OA,可得到点 N 的坐标,从而得到 AN=2,然后
再求得 AD 的长；当∠N′DA=90°时,依据 sin∠DN′A=sin∠ADN 可求得 AN′的长,从而可得到 N′的坐标．
【详解】解：（1）将 x=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：y=3,
∴B（0,3）．
将 y=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：﹣x+3=0,
解得 x=3,
即 A（3,0）．
将点 A 和点 B 的坐标代入 y=﹣x +bx+c,得：
2
ì-9 + 3b + 3＝0
í
,
c＝3
î
解得：b=2,c=3．
∴抛物线的解析式为 y=﹣x +2x+3．
2
（2）列表：
抛物线的图象如下：
（3）∵y=﹣x +2x+3=﹣（x﹣1） +4,
2
2
∴D（1,4）．
①当∠DNA=90°时,如图所示：

∵∠DNA=90°时,
∴DN⊥OA．
又∵D（1,4）
∴N（1,0）．
∴AN=2．
∵DN=4,AN=2,
∴AD=2 5 ．
②当∠N′DA=90°时,则∠DN′A=∠NDA．
AD AN
=
∴
即
,
AN ' AD
2 5
2
=
,
AN '
2 5
解得：AN′=10．
∵A（3,0）,
∴N′（﹣7,0）．
综上所述,点 N 的坐标为（1,0）或（﹣7,0）．
【点睛】考查的是二次函数的应用,解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形
的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（2）依据抛物线解析式为 y=-x +2x+3,列表,描点,连线即可；
2
（3）先利用配方法求得点 D 的坐标,当∠DNA=90°时,DN⊥OA,可得到点 N 的坐标,从而得到 AN=2,然后
再求得 AD 的长；当∠N′DA=90°时,依据 sin∠DN′A=sin∠ADN 可求得 AN′的长,从而可得到 N′的坐标．
【详解】解：（1）将 x=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：y=3,
∴B（0,3）．
将 y=0 代入 AB 的解析式 y=﹣x+3 得：﹣x+3=0,
解得 x=3,
即 A（3,0）．
将点 A 和点 B 的坐标代入 y=﹣x +bx+c,得：
2
ì-9 + 3b + 3＝0
í
,
c＝3
î
解得：b=2,c=3．
∴抛物线的解析式为 y=﹣x