高考数学平面向量1.doc

平面向量

一. 教学内容：
平面向量

二. 教学重点、难点及教学要求：
1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2. 掌握向量的加法和减法。
3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直等问题，掌握向量垂直的条件。
6. 掌握两点间距离公式，以及线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

三. 知识串讲

（一）向量的基本运算
1. 有关概念
（1）向量—既有大小又有方向的量叫做向量
常用有向线段表示向量

（3）共线向量（平行向量）—方向相同或相反的向量叫做平行向量（即共线向量）。

向量可以在平面（空间）平行移动而不变。
规定：零向量与任一向量平行。

［练习］

2. 向量的加法、减法与数乘。
（1）向量的加法是用三角形法则来定义的。

例如：

如图：向量的多边形

法则：多个向量相加，将它们顺序“头尾相接”，则以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量，即为这多个向量的和向量。

（3）实数与向量的积

（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式）

这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的

所有向量的一组基底。

［练习］

解：在平行四边形ABCD中

分析：

证明：∵A、P、B三点共线

则存在唯一实数t，

注意：这是一个充分必要条件命题，可判定三点共线。

_______________
分析：

（二）向量的坐标运算

3. 向量平行的坐标表示

（三）平面向量的数量积
1. 数量积的概念

规定：零向量与任一向量的数量积为零。

2. 运算法则：

3. 重要性质

（四）平移
设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形F'，这一过程叫做图形的平移。

—平移公式

【典型例题】
例1.
___________。

解析：

得平行四边形OACB为矩形，

注：本题考查向量的概念，几何意义，向量的几何运算，等基本知识

例2. 化简以下各式：

结果为零向量的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：

答案：D

例3.

分析：由三角形重心的性质，GA＝2GD，GB＝2GE，GC＝2GF，和向量加法的平行四边形法则，不难证明。
证明：延长AG至H，使DH＝DG，其中D为BC中点，
则GBHC为平行四边形

例4.

三点共线。

分析：
即可。

证明：

又它们有公共点B，∴A、B、C三点共线。

例5.

解析：

答案：B

例6.

解析：

∴B点坐标为（4，2）
答案：（4，2）
注：本题传统上用定比分点公式求解。

若直接用向量的坐标运算，显得思维简捷。

例7.

A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；

由“两边之差小于第三边”，故②真

所以垂直，故③假；

真。
答：D。

例8.

解析：

答案：13

例9.

解：

例10.

解析：由题设，得：

答案：－2

例11.

解：

例12.

解：
根据题意有：

∴平移后Q'的坐标为（5，－1）
答案：（5，－1）

例13.

解：

【模拟试题】
（一）选择题：
1. 化简：（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知（ ）
A. （7，1） B. （－7，－1）
C. （－7，1） D. （7，－1）
3. 若向量，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面向量（ ）
A. 3 B. 1 C. －1 D. －3
5. 已知向量（ ）

6. 向量方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线与线段的交点分有向线段，则m＝（ ）
A. B. C. D. 4

（二）填空题：
8. 设
_____________
9. 若____________；若
O为△ABC的____________；若，则O为△ABC的_____________。
10. 若________
11. 已知两点
___________。
12. 一函数图象沿向量原来的函数解析式为______________。

（三）解答题
13.

（1）当m为何值时，；
（2）当m为何值时，。
14. 如图，

（1）若，求x，y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若。

【试题答案】
（一）选择题：
1. C 2. B 3. B 4. B
5. C 6. C 7. D

（二）填空题
8.
9. 外心；垂心；重心
10. 120°
11.
12.

（三）解答题：
13. （1）

则
即

（2）
即
∵

14. （1）∵

若
则由向量平行的充要条件得

（2）
即

即
由①、②联立方程组，
解得
∴