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初探分类思想在初中数学教学中的渗透
丹阳市司徒中学 郑海平
推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。
随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。
分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、 渗透分类思想，养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：
整数 正有理数
有理数 ｛ 有理数｛ 零
分数 负有理数
为下一步分类讨论奠定基础。
认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。
讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：
a ( a > 0)
︱a︱= ｛ 0 ( a=0)
－a (a < 0)
通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。
结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。
二、 学习分类方法，增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每

一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种：
1、根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
例1， 化简 ｜ｘ-1｜
解：这是按绝对值的意义进行分类。可按x〉1 时 ， x = 1时 ， x < 1 时 , 三种情况讨论进行。
例2、比较a 与2a 易得的错误，导致错误在于没有注意到数a 可表示不同类的数。而对数a 进行分类讨论，既可得到正确的解答： a〉0 时 ， a = 0 时 ， a < 0 时 , 三种情况。
2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类(x-2) 2 =(3x-10) 2
学习一元二次方程 , 根的判别式时，对于变形后的方程
用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。
例3、解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a
分析通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0,a－2＝0,
和a－2＜0三种情况分别解不等式。
当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是x>(a-3)/(a-2)
当，a－2＝0,即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1
因为0＞－1,所以不等式的解是一切实数。
当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是x<(a-3)/(a-2)
3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。（2002年河南中考题）
分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角

三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是 或 从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类
在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。
三、引导分类讨论，提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题
例4、已知函救y＝（m-1）x2＋(m-2）x－1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.
分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1≠0 两种情况来研究解决问题。
解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。
当 m≠1 时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1
当△＝（m－2）2+4(m－1)=0,得 m=0.
抛物线 y=－x2－2x－1,的顶点（－1，0）在x轴上
例5、 函数 y =x6 –x5 + x4- x3+ x2– x +1，求证：y 的值恒为正

数。
分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。
证明：⑴ 当x ≤0时
∵x5 - x3–x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；
⑵ 当0 < x <1时
y = x6 (x4 – x5 ) + (x2 –x3 ) + ( x – 1)
∵x4 > x5 , x2 > x3, 1> x
∴ y > 0 成立；
⑶ 当x = 1 时, y = 1 > 0 成立；
⑷ 当x >1时
y = (x6 – x5) + (x4 – x3) + (x2 – x ) + 1
∵ x6> x5 , x4 > x4 , x2> x
∴ y > 1成立
综上可知，y > 0 成立。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献： [1] 《全日制义务教育课程标准》
[2] 《初中生学习法与能力培养》
[3] 《数学思想和数学方法》