1、 夹角问题
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
(二) 线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围：
当时，或
当时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角
2、
方法二：向量法(为平面的一个法向量)。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
(2)范围：
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算
步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。
3、
14
练习:
1、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是________
2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知二面角为，，，A为垂足，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是___________
4、
5．已知正方形中,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为____.
6 .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平
面AA1C1C所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）[来源:学科网ZXXK]
A． B． C． D．
8.如图，在三棱锥中，，，，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。
5、
9.如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
10.如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
11.如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
12.如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
13.如图，三棱柱中
6、侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.
2.【答案】B.
3.
．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．
考点：1．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明；2．二面角的计算．
4.
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.
5.
试题解析:(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等
四边形和四边形均为菱形
分别为中点
四边形和四边形为矩形
且
又且底面
底面.
又且,面
【考点定位】线面垂直 二面角 勾股定理 菱形
6.
易得,所以，因此,从而得（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
