2021年数学专升本考试试题.doc

高等数学（二）命题预测试卷（二）
一、 选取题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出选
项中，只有一项是符合题目规定，把所选项前字母填在题后括号内）
1．下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小是（ ）
A． B．
C． D．
2．曲线在内是（ ）
A．处处单调减小 B．处处单调增长
C．具备最大值 D．具备最小值
3．设是可导函数，且，则为（ ）
A．1 B．0
C．2 D．
4．若，则为（ ）
A． B．
C．1 D．
5．设等于（ ）
A． B．
C． D．
二、 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在
题中横线上。
6．设，则= ．
7．设，则 ．
8．，则 ．
9．设二重积分积分区域D是，则 ．
10．= ．
11．函数极小值点为 ．
12．若，则 ．
13．曲线在横坐标为1点处切线方程为 ．
14．函数在处导数值为 ．
15． ．
三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算环节。
16．（本题满分6分）
求函数间断点．

17．（本题满分6分）
计算．

18．（本题满分6分）
计算．

19．（本题满分6分）
设函数，求．

20．（本题满分6分）
求函数二阶导数．

21．（本题满分6分）
求曲线极值点．

22．（本题满分6分）
计算．

23．（本题满分6分）
若一种原函数为，求．

24．（本题满分6分）
已知，求常数值．

25．（本题满分6分）
求函数极值．

26．（本题满分10分）
求，其中D是由曲线与所围成平面区域．

27．（本题满分10分）
设，且常数，求证：．

28．（本题满分10分）
求函数单调区间、极值、此函数曲线凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数图形．

参照答案
一、 选取题
1．B 2．B 3．D 4．D 5．D
二、填空题
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12．5 13．
14． 15．0
三、解答题
16．解 这是一种分段函数，在点左极限和右极限都存在．

故当时，极限不存在，点是第一类间断点．
17．解 原式=．
18．解 设．
由于是初等函数可去间断点，
故

．
19．解 一方面在时，分别求出函数各表达式导数，即
当时，
当时，．
然后分别求出在处函数左导数和右导数，即

从而，函数在处不可导．
因此
20．解
①

②
又由①解得
代入②得

21．解 先出求一阶导数：
令 即 解得驻点为．
再求出二阶导数．
当时，，故是极小值．
当时，，在内，，在内
故 不是极值点．
总之 曲线只有极小值点．
22．解

23．解 由题设知
故

．
24．解

又
故 解得．
25．解
解方程组得驻点
又
对于驻点，故
驻点不是极值点．
对于驻点
故 ，又．
函数在点获得极大值

26．解 由与得两曲线交点为与
反函数为．

27．证

于是．
28．解 （1）先求函数定义域为．
（2）求和驻点：，令得驻点．
（3）由符号拟定函数单调增减区间及极值．
当时，，因此单调增长；
当时，，因此单调减少．
由极值第一充分条件可知为极大值．
（4）求并拟定符号：
，令得．
当时，，曲线为凸；
当时，，曲线为凹．
依照拐点充分条件可知点为拐点．
这里和计算是本题核心，读者在计算时一定要认真、仔细。
此外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

＋
0
－
－
－

－
0
＋
就表上所给和符号，可得到：
函数单调增长区间为；
函数单调减少区间为；
函数极大值为；
函数凸区间为；
函数凹区间为；
函数拐点为．
（5）由于，
因此曲线有
水平渐近线
铅垂渐近线
（6）依照上述函数特性作出函数图形如下图．