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电动力学习题解答2.doc

1、1. 分离变量法的实质是( ) A.利用高斯积分面求定解。 B. 利用电荷分布求定解。 C.利用平面镜像求定解。 D. 将偏微分方程转换为常微分方程,再利用边界条件求定解。 2*在均匀外电场EO中放置半径为的导体球,(1)导体球上接有电池,与地保持电势差;使用分离变量法求空间电势分布 (15分)。;解:(1)以球心为坐标原点,以外电场EO方向建立球坐标系,当导体上接有电池,与地保持电势差时。以地为电势零点。本题的定解问题; 且 其中是未置入导体球前,坐标原点的电势.由于此问题具有轴对称, 从 得通解 ,(R根据边界条件确定积分常量:先由=得= +(R)再由得 =+2. 在均匀外电场E0中放置半

2、径为的导体球,(2)导体球上带总电荷Q,使用分离变量法求空间电势分布。(15分)解:(2) 建立同样的坐标系;定解问题为: 重复第一问的过程,得到 =+ 由条件(4)得到 = = = =-4 代入上式代替得 =+ ,(RR)4、(本题1分) 均匀介质球(介电常数为e)的中心置一自由偶极矩pf,球外充满另外一种介质(介电常数为e),求空间各点的电势。解:问题具有对称性,泊松方程的特解是:考虑到 有限得:5、(本大题总计10分) 空间导体球壳的内外半径为R1和R2,球中心置一偶极子p,球壳上带电Q,求空间各点电势和电荷分布。 空间导体球壳的内外半径为R1和R2,球中心置一偶极子p,球壳上带电Q,求

3、空间各点电势和电荷分布。利 r R2r0, 有限;r, r=R2 rR2 R1 rR2 9*接地的空心导体球的内外半径为,在球内离球心为a()处置一点电荷Q,用镜像法求电势分布,导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还是外表面?(15分)解:设B处有电荷来代替球壳上感应电荷,在球内产生的场所以 =由于求敲及球外电场为零,感应电荷只能分布于内表面,因为区域电场为零故由高斯定理 所以 11*、(本题10分) 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部,半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b (b a),用电像法求空间电势。11、解:如图,利用镜像法,根据一点电荷附近置一

4、无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型,可确定三个镜像电荷的电量和位置。 (6分) (4分)三、(本大题总计1分) 真空中有一半径为R0的导体球,导体球不接地而带电荷Q0,距球心为a (a R0) 处有一点电荷Q,求球外电势。解:利用电像法求解。在球内有一个像电荷,b=R02/a Q=-R0Q/a在球心放置一个假想电荷Q0-Q,导体球带总电荷为Q0,球面为等势面,球外电势为 四(9)、(12分)一个内外半径分别为R1和R2的接地空心导体球,在球内离球心为a(aR1)处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。四(9)、(12分)解:假设可以用球外一个假想电荷代替球内表面上感应电荷对空

5、间电场的作用,空心导体球接地,球外表面电量为零,由对称性,应在球心与的连线上。考虑球内表面上任一点P,边界条件要求: P (1分) R1 R R式R为Q到P的距离,R为到P的距离,因此, O Q Q对球面上任一点,应有常数 (1分)只要选择的位置,使,则常数 设距球心为b,则,即 (2分)由(2)(3)两式得: (2分) (2分)导体球壳接地,电势为0 (2分)从球壳外表面到无穷远都没有电荷,所以球壳外电势为0。 (2分)五、(12分)如图所示,电容率为的介质球置于均匀外电场中,设球半径为,球外为真空,试用分离变量法求介质球内外电势。解:设球半径为R0。以球心为原点,以方向为极轴建立球坐标系。以 代表球外区域的电势,代表球内区域的电势,、均满足拉普拉斯方程,通解为: (1分) (1分)由边界条件:, (1分)得:, (1分)由边界条件:为有限, (1分)得 (1分)在处, (2分)将(1)(2)代入,并比较Pn的系数,得:, (2分)由此, (1分) (1分)五、(本大题总计1分) 请推导真空中电磁场波动方程。 五、(本题1分) 请推导达郎贝尔方程将 和 代入麦克斯韦方程令 10

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