电动力学习题解答2.doc

1. 分离变量法的实质是（ ）
     A.利用高斯积分面求定解。 B.     利用电荷分布求定解。
     C.利用平面镜像求定解。 D.     将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求定解。
2*．在均匀外电场EO中放置半径为的导体球，（1）导体球上接有电池，与地保持电势差；使用分离变量法求空间电势分布 （15分）。；
解：（1）以球心为坐标原点，以外电场EO方向建立球坐标系，当导体上接有电池，与地保持电势差时。以地为电势零点。本题的定解问题；

且
其中是未置入导体球前，坐标原点的电势.
由于此问题具有轴对称, 从 得通解
，(R

根据边界条件确定积分常量：
先由=得
=

+（R）
再由得

=+

2. 在均匀外电场E0中放置半径为的导体球，（2）导体球上带总电荷Q，使用分离变量法求空间电势分布。（15分）
解：(2) 建立同样的坐标系；定解问题为：

重复第一问的过程，得到
=+
由条件（4）得到

=
=
=
=-4

代入上式代替得
=+ ，（R>R）

4、(本题1０分)
均匀介质球（介电常数为e１）的中心置一自由偶极矩pf，球外充满另外一种介质（介电常数为e２），求空间各点的电势。
解：问题具有对称性，泊松方程的特解是：

考虑到
有限
得：

5、(本大题总计10分)
       空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。

       　　空间导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。
利     r < R1,      r > R2
r®0，  有限；r®¥，

       r=R2
    r<R1  ;   r>R2   R1£ r£R2

9*．接地的空心导体球的内外半径为,在球内离球心为a()处置一点电荷Q，用镜像法求电势分布，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？（15分）
解:设B处有电荷来代替球壳上感应电荷，在球内产生的场

所以

=

由于求敲及球外电场为零，感应电荷只能分布于内表面，因为区域电场为零故
由高斯定理

所以

11*、(本题10分)
     在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b (b > a)，用电像法求空间电势。

11、解：如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。
（6分）

（4分）

三、(本大题总计1０分)
真空中有一半径为R0的导体球，导体球不接地而带电荷Q0，距球心为a (a > R0) 处有一点电荷Q，求球外电势。
解：利用电像法求解。
在球内有一个像电荷，b=R02/a  Q’=-R0Q/a
在球心放置一个假想电荷Q0-Q’，导体球带总电荷为Q0，球面为等势面，
球外电势为 

四（9）、（12分）一个内外半径分别为R1和R2的接地空心导体球，在球内离球心为a(a<R1)处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。

四（9）、（12分）
解：假设可以用球外一个假想电荷代替球内表面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性，应在球心与的连线上。
考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： P
(1分) R1 R R’
式R为Q到P的距离，R’为到P的距离，因此， O Q Q’
对球面上任一点，应有
常数 (1分)
只要选择的位置，使，则
常数
设距球心为b，则，即 (2分)
由（2）（3）两式得: (2分)
(2分)
导体球壳接地，电势为0 (2分)
从球壳外表面到无穷远都没有电荷，所以球壳外电势为0。 (2分)

五、（12分）如图所示，电容率为的介质球置于均匀外电场中，设球半径为，球外为真空，试用分离变量法求介质球内外电势。

解：设球半径为R0。以球心为原点，以方向为极轴建立球坐标系。以 代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，、均满足拉普拉斯方程，通解为：
（1分）
（1分）
由边界条件：， （1分）
得：，， （1分）
由边界条件：为有限， （1分）
得 （1分）
在处，， （2分）
将（1）（2）代入，并比较Pn的系数，得：
，， （2分）
由此， （1分）
（1分）

五、(本大题总计1０分)
  请推导真空中电磁场波动方程。

五、(本题1０分)
请推导达郎贝尔方程

将 和 代入麦克斯韦方程

令

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