使用思维导图设计《数列求和》教学案例.doc

数列求和
灵宝五高 张宇平
教学目标：
1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
教学重点：
等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．
教学难点：
非等差、等比数列的求和．
教学方法：
启发式、讲练结合．

一、等差数列前n项和【思维导图】
学§科§网
【微试题】
1. 已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为 (　　)
A．4　　　　　　 B. C．－4 D．－
【答案】A

m2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C

3. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D

4. (1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【答案】（1）当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为130；（2）Tn＝
【解析】解：(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即当n≤12时， an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为
S13＝S12＝12×20＋×＝130.
方法二　同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋·
＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
方法三　同方法一得d＝－.
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.[来源:学§科§网]
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.[来源:Zxxk.Com]
令
由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.则
Tn＝＝
二、等比数列前n项和【思维导图】

1. 数列，，，…，，…的前项和是（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
【答案】D

2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
源:学网Z3.等比数列的前n项和为.已知，则＝(　　)．[来源:

【答案】C
[来源:学科网ZXXK]

4. 已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2)
【解析】解： （I）方程的两根为2,3,由题意得，，
设数列的公差为 d,，则，故d=，从而，
所以的通项公式为： .
(Ⅱ)设求数列的前项和为Sn,由(Ⅰ)知，则：
,
两式相减得:
,
所以 .
三、非等差、等比数列前n项和【思维导图】

1、倒序相加法
此法来源于等差数列求和公式的推导方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
例1. 已知,，求。
解： ①
把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：
②
把①②两式相加得

此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
2、错位相消法
此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列的前n项和。
解：设
当时，
当时， ①
①式两边同时乘以公比a，得 ②
①、②两式相减得

这种方法主要用于求数列的前n项和，其中是等差数列，是等比数列。
3、拆项分组法
把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列，，…， ，的前n项和。
解：设数列的前n项和为，则

当时，
当时，
说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的情况进行讨论。
4、裂项相消法
用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如
（1）
（2）
（3）

例4. 求数列的前n项和。
解：

解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾项的项数。
5、奇偶数讨论法
如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5. 已知数列，，求该数列的前n项和。
解：对n分奇数、偶数讨论求和。
①当时，

②当时，

说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。
教学评价与反馈
根据高三学生心理特点、教学内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本堂内容教学目标的落实。