圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版.doc

圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离.(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，c1，又点P(0，1)在曲线C1上，1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y，得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.解(1)设点M(x，y)，依题意|MF|x|1，|x|1，化简得y22(|x|x)，故轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x(x0)；C2：y0(x0).依题意，可设直线l的方程为y1k(x2).由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的16(2k2k1)16(2k1)(k1)，设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k1，或k.所以当k1或k时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. ()若即解集为.综上可知，当k1或k或k0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题【例2】 (2016四川卷)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得mb0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值.解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，解得k1.能力提高11.已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A.1 B. C. D.解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2，由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案D12.(2016四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是()A. B. C. D.1解析如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y2px0，即x0.设M(x，y)，由2，得解之得x，且y.直线OM的斜率k又y02p，当且仅当y0p时取等号.k，则k的最大值为.答案C13.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.解析直线AF的方程为y(x2)，联立得y4，所以P(6，4).由抛物线的性质可知|PF|628.答案814.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.