静安青浦崇明数学.doc

上海市静安区、青浦区2014年中考二模
数　学 2014.4
（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．当时，等于
（A） （B）　 （C）　 （D）
2．如果，那么下列不等式中一定正确的是
（A） （B） （C） （D）
3．已知函数(为常数)，如果随着的增大而减小，那么的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
4．某校九年级200名学生在第一学期的期末考试中数学成绩（分数都是整数）分布如下表：
分数段
75~89
90~104
105~119
120~134
135~149
频率
0.1
0.15
0.25
0.35
0.15

表中每组数据含最小值和最大值，在最低分为75分与最高分为149分之间的每个分数都有学生，那么下列关于这200名学生成绩的说法中一定正确的是
（A）中位数在105~119分数段 （B）中位数是119.5分
（C）中位数在120~134分数段 （D）众数在120~134分数段
A
B
C
C1
B2
C2
（第5题图）

5．如图，将△沿直线AB翻折后得到△，再将△绕点A旋转后得到△，对于下列两个结论：①“△能绕一点旋转后与△重合”；
②“△能沿一直线翻折后与△重合”的正确性是
（A）结论①、②都正确 （B）结论①、②都错误
（C）结论①正确、②错误 （D）结论①错误、②正确
6．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条
件中 不能 判断四边形ABCD为平行四边形的是
（A）OB＝OD （B）AB//CD （C）AB＝CD （D）∠ADB＝∠DBC
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7．数25的平方根是 ▲ ．
8．分解因式： ▲ ．
9．如果二次根式有意义，那么的取值范围是 ▲ ．
10．关于的方程根的情况是 ▲ ．
11．如果抛物线经过点A（0，4）、B（2，m），那么m的值是 ▲ ．
12．某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，128，128，那么
这个小组测试分数的标准差是 ▲ ．
（第14题图）

A
B
C
D
13．从3位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，所选2人中恰好是一位男同学和
一位女同学的概率是 ▲ ．
14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，
如果，那么 ▲ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC上，AF与
DE相交于点G，如果∠AFB＝110° ，那么∠CGF的度数是 ▲ ．
16. 将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是 ▲ ．
17．如果⊙O1与⊙O2相交于点A、B，⊙O1的半径是5，点O1到AB的距离为3，那么⊙O2的
A
B
F
C
G
D
E
（第18题图）

半径的取值范围是 ▲ ．
18．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，点E、F、G分别在
边AB、BC、CD上，四边形AEFG是正方形，如果∠B= 60°，
AD=1，那么BC的长是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（本题满分10分）
化简：，并求当时的值．

20．（本题满分10分）
解方程：．

21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
（第21题图）

A
B
C
E
D

已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD= 4，．
求：（1）边AB的长；
（2）∠ABE的正弦值．

22．（本题满分10分）
小丽购买了6支水笔和3本练习本，共用21元；小明购买了12支水笔和5本练习本，共用39元．已知水笔与练习本的单价分别相同，求水笔与练习本的单价．

23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
（第23题图）

A
B
C
D
E
G
F
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：；
（2）联结CG，求证：∠ECB＝∠DCG．

24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）
已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，，设⊙P的半径为，线段OC的长为．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

B
A
C
O
P
（第24题图）

（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）
如图，反比例函数的图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），□ABCD的顶点C、D分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A、C、D．
（第25题图）

A
C
B
O
y
D
E
x
（1） 求直线AB的表达式；
（2） 求点C、D的坐标；
（3）如果点E在第四象限的二次函数图像上，
且∠DCE＝∠BDO，求点E的坐标．

上海市静安区、青浦区2014年中考二模
数学试卷参考答案及评分标准2014.4.10
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．A； 3．B； 4．B； 5．D； 6．C．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．； 10．没有实数根； 11．4；
12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．
三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分）
19．解：原式=……………………………………………………………………（4分）
……………………………………………………………………（2分）
当时，原式=．…………………（4分）
20．解：设，…………………………………………………………………………（1分）
得：，………………………………………………………………………（1分）
，…………………………………………………………………（1分）
……………………………………………………………………（2分）
当时，，此方程没有数解．…………………（2分）
当时，，．………………………（2分）
经检验都是原方程的根，…………………………………………（1分）
所以原方程的根是．
21．解：(1) 联结AC，AC与BD相交于点O，………………………………………………（1分）
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝．……………………（1分）
∵Rt△BOC中，，………………………………………（1分）
∴OC＝1，…………………………………………………………………………（1分）
∴AB＝BC＝．……………………………………（1分）

（2）∵AE⊥BC，∴，………………………………（2分）
∵AC＝2OC＝2，∴，…………………………………………（1分）
∴，………………………………………………………………………（1分）
∴．…………………………………………………………（1分）

22．解：设水笔与练习本的单价分别为元、元，…………………………………………（1分）
∴………………………………………………………………………（4分）
解得……………………………………………………………………………（4分）
答：水笔与练习本的单价分别是2元与3元．…………………………………………（1分）

23．证明：（1）∵AB=AC，AD＝ AE＝∴AD＝AE，…………………………（1分）
∵∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE．…………………………………………（1分）
∴∠ABD＝∠ACE，…………………………………………………………………（1分）
∵DF⊥AC，AD＝CD，∴AF＝CF，………………………………………………（1分）
∴∠GAD＝∠ACE，∴∠GAD＝∠ABD．………………………………………（1分）
∵∠GDA=∠ADB，∴△GDA∽△ADB．…………………………………………（1分）
∴，∴．……………………………………………（1分）

（2）∵，AD＝CD，∴．………………………………………（1分）
∵∠CDG=∠BDC，∴△DCG∽△DBC．…………………………………………（1分）
∴∠DBC=∠DCG．…………………………………………………………………（1分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．……………………………………………………（1分）
∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ECB＝∠DBC=∠DCG．………………………………（1分）

24．解：（1）在⊙O中，作OD⊥AB，垂足为D，……………………………………………（1分）
在Rt△OAD中，，………………………………………（1分）
∴AD=AO=1． ∴AB=2AD=2．………………………………………………（1分）
（2）联结OB、PA、PC，
∵⊙P与⊙O相切于点A，∴点P、A、O在一直线上．……………………（1分）
∵PC=PA，OA=OB，∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA，∴PC//OB．………1分）
∴，∴AC． ………………………………………（1分）
∵，CD=AD+AC=，
∴OC=，………………………………………（1分）
∴，定义域为．…………………………………（1分）
（3） 当⊙P与⊙O外切时，∵∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，
∴△OAC∽△OCP．∴，∴，……………………（1分）
∴，∴（不符合题意，舍去），
∴这时⊙P的半径为．………………………………………………………（1分）
∴，，∴这时⊙P的半径为．……………………………（1分）
∴⊙P的半径为或．

25．解：（1）设反比例函数的解析式为．∵它图像经过点A（–2，5）和点B（–5，p），
∴5=，∴，∴反比例函数的解析式为．……………………（1分）
∴，∴点B的坐标为（–5，2）．……………………………………（1分）
设直线AB的表达式为，则………………………………（1分）
∴∴直线AB的表达式为．………………………………………（1分）
（2）由□ABCD中，AB//CD，设CD的表达式为，…………………………（1分）
∴C（0，c），D（–c，0），…………………………………………………………（1分）
∵CD＝AB，∴∴，……………………（1分）∴c＝–3，∴点C、D的坐标分别是（0，–3）、（3，0）．………………………（1分）
（3）设二次函数的解析式为，………………………（1分）
∴ ∴二次函数的解析式为．…………………………（1分）
作EF⊥轴，BG⊥轴，垂足分别为F、G．∵OC＝OD，BG＝CG，
∴∠BCG＝∠OCD=∠ODC＝45 º．∴∠BCD=90º，
∵∠DCE＝∠BDO，∴∠ECF=∠BDC．……………………………………………（1分）
∴tan∠ECF=tan∠BDC=.…………………………（1分）
设CF＝3t，则EF＝5t，OF＝3–3t，∴点E（5t，3t–3），………………………（1分）
∴，.∴点E（，）.………（1分）

九年级数学 第10页 共4页