二次函数与一元二次方程专题训练.docx

二次函数与一元二次方程知识要点梳理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根=b2-4ac0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根=b2-4ac0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。典例精讲例1（2008枣庄）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且ABP是等腰三角形，求点P的坐标例2已知二次函数y=x2-m28x2m26,求证;不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上。设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，请说明理由。例3（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由基础练习1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（ ）。A.a0，b2-4ac0 B .a0，b2-4ac0 C. a0，b2-4ac0 D. a0，b2-4ac02.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）。3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的上方，则k的取值范围（ ）。4.对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）。ABC D 5.设函数y=x2（k+1）x4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=_6（2010包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方下列结论：；其中正确结论的个数是 个7. （2010自贡）y=x2（1a）x1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1x3时，y在x1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。Aa=5Ba5Ca3Da3 8. （2008武汉）下列命题：若，则；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）.只有只有只有只有能力提升1、（2011大庆）二次函数：y=ax2bx+b（a0，bo）图象顶点的纵坐标不大于b2（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值2、（2011广东）已知抛物线y=12x2+x+c与x轴没有交点（1）求c的取值范围；（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由3、（2011荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值4、（2011南京）已知函数y=mx26x+1（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值5、（2011新疆）已知抛物线y=x2+4x3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P（1）求A、B、P三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式xy6、（2010镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1y2，求实数n的取值范围7、（2010咸宁）已知二次函数y=x2+bxc的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（3m，0）（m0）（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值8、（2010十堰）已知关于x的方程mx2（3m1）x+2m2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围9、（2010汕头）已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围10、（2010娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OCOB）是方程x210x+24=0的两个根（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式11、（2009肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使AMB面积最小时的抛物线的解析式12、（2009黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a2（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为3132，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由15、（2009宁夏）如图，抛物线y=12x2+22x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由16、（2008长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（xk）2+2（k0），y1+y2=x2+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=1（1）求k的值；（2）求函数y1，y2的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由17、（2009黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围18、（2009娄底）已知关于x的二次函数y=x2（2m1）x+m2+3m+4（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式19、（2008北京）已知：关于x的一元二次方程mx2（3m+2）x+2m+2=0（m0）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）若y是关于m的函数，且y=x22x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y2m20、（2009孝感）已知抛物线（k为常数，且k0）（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点； （2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值 21、. 已知：二次函数的图像与x轴交于A（，0）、B（，0），0，与y轴交于点C，且满足 求这个二次函数的解析式； 是否存在着直线ykxb与抛物线交于点P、Q，使y轴平分CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由 22、（2008北京）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；1Oyx2344321-1-2-2-1（3）连结，求与两角和的度数23、 （2010厦门）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点 。连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90得到线段，且点是抛物线的顶点 （1）若，抛物线经过点（2，2），当时，求的取值范围； （2）已知点（1，0），若抛物线与轴交于点，直线与抛物线有且只有一个交点，请判断的形状，并说明理由24、（2010江津）