中考数学平行四边形-经典压轴题及答案解析.doc

中考数学平行四边形-经典压轴题及答案解析一、平行四边形1如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值【答案】（1）BGDE，BG=DE；BGDE，证明见解析；（2）BGDE，证明见解析；（3）16.25【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BCGDCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和详解：（1）BGDE，BG=DE；四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC，CG=CE，BCD=ECG=90，BCG=DCE，BCGDCE，BG=DE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（2）AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，又BCG=DCE，BCGDCE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（3）连接BE、DG根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，BGDE，BCD=ECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理2（1）、动手操作：如图：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若ABE20，那么的度数为 .（2）、观察发现：小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（3）、实践与运用：将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MPMNPQ（如图），求MNF的大小.【答案】（1）125；（2）同意；（3）60【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得AEB=70，根据折叠重合的角相等，得BEF=DEF=55，根据平行线的性质得到EFC=125，再根据折叠的性质得到EFC=EFC=125；（2）根据第一次折叠，得BAD=CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得AEG=AFG，则AEF是等腰三角形；（3）由题意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出MNFMPF，得出3MNF=180求出即可试题解析：（1）、在直角三角形ABE中，ABE=20，AEB=70，BED=110，根据折叠重合的角相等，得BEF=DEF=55ADBC，EFC=125，再根据折叠的性质得到EFC=EFC=125；（2）、同意，如图，设AD与EF交于点G由折叠知，AD平分BAC，所以BAD=CAD由折叠知，AGE=DGE=90，所以AGE=AGF=90，所以AEF=AFE所以AE=AF，即AEF为等腰三角形（3）、由题意得出：NMFAMNMNF，MFNF，由折叠可知，MFPF，NFPF，而由题意得出：MPMN，又MFMF，MNFMPF，PMFNMF，而PMFNMFMNF180，即3MNF180，MNF60.考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定3四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：DAG=DCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的度数【答案】（1）证明见解析；AGBE理由见解析；（2）证明见解析；（3）BHO=45【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得DA=DC，ADB=CDB=45，则可根据“SAS”证明ADGCDG，所以DAG=DCG；根据正方形的性质得AB=DC，BAD=CDA=90，根据“SAS”证明ABEDCF，则ABE=DCF，由于DAG=DCG，所以DAG=ABE，然后利用DAG+BAG=90得到ABE+BAG=90，于是可判断AGBE；（2）如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，证明AONBOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AGBE；过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，构造全等三角形AONBOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分BHG，即BHO=45试题解析：（1）四边形ABCD为正方形，DA=DC，ADB=CDB=45，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），DAG=DCG；AGBE理由如下：四边形ABCD为正方形，AB=DC，BAD=CDA=90，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），ABE=DCF，DAG=DCG，DAG=ABE，DAG+BAG=90，ABE+BAG=90，AHB=90，AGBE；（2）由（1）可知AGBE如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，则四边形OMHN为矩形MON=90，又OAOB，AON=BOMAON+OAN=90，BOM+OBM=90，OAN=OBM在AON与BOM中，AONBOM（AAS）OM=ON，矩形OMHN为正方形，HO平分BHG（3）将图形补充完整，如答图2示，BHO=45与（1）同理，可以证明AGBE过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，与（2）同理，可以证明AONBOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分BHG，BHO=45考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质4如图，ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿DA以1cm/s的速度向终点A运动点Q沿DBD以2cm/s的速度运动，回到点D停止以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN将PQN绕QN的中点旋转180得到MNQ设四边形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0t3）（1）当点N落在边BC上时，求t的值（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值（3）当点Q沿DB运动时，求S与t之间的函数表达式（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形PQFEN（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时t，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值试题解析：（1）PQN与ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合DQ=32t=3t=；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，PD=DQ，当0t时，此时，PD=t，DQ=2tt=2tt=0（不合题意，舍去），当t3时，此时，PD=t，DQ=62tt=62t，解得t=2； 综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，MN=BQPQ=MN=3t，BQ=32t3t=32t解得t=如图，当0t时，SPNQ=PQ2=t2；S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2，如图，当t时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，MN=PQ=3t，NE=BQ=32t，ME=MNNE=PQBQ=5t3，EMF是等边三角形，SEMF=ME2=（5t3）2；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时t，t=1或考点：几何变换综合题5如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）若ADF：FDC=3：2，DFAC，求BDF的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出FDC的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形ABCD是矩形，OC=OD，ODC=54BDF=ODCFDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形6已知AD是ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当ABAC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与BPE面积相等的三角形（不包括BPE本身）【答案】（1）见解析；（2）APE、APF、CPF、PGH【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EGAP，EFBC，EF=BC，GHBC，GH=BC，推出EFGH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EFAP，推出EFEG，即可得出结论；（2）由APE与BPE的底AE=BE，又等高，得出SAPE=SBPE，由APE与APF的底EP=FP，又等高，得出SAPE=SAPF，由APF与CPF的底AF=CF，又等高，得出SAPF=SCPF，证得PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，推出SPGH=SAEF=SAPF，即可得出结果【详解】（1）证明：E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，EGAP，EFBC，EFBC，GHBC，GHBC，EFGH，EFGH，四边形EGHF是平行四边形，ABAC，ADBC，EFAP，EGAP，EFEG，平行四边形EGHF是矩形；（2）PE是APB的中线，APE与BPE的底AEBE，又等高，SAPESBPE，AP是AEF的中线，APE与APF的底EPFP，又等高，SAPESAPF，SAPFSBPE，PF是APC的中线，APF与CPF的底AFCF，又等高，SAPFSCPF，SCPFSBPE，EFGHBC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于PBC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，GHEF，SPGHSAEFSAPF，综上所述，与BPE面积相等的三角形为：APE、APF、CPF、PGH【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键7如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CEAC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BFDF【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证AFMEFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BFDF【详解】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD四边形ABCD是矩形，MDBC，AMF=EBF，E=MAF，又FA=FE，AFMEFB，AM=BE，FB=FM矩形ABCD中，AC=BD，AD=BC，BC+BE=AD+AM，即CE=MDCE=AC，AC=CE= BD =DMFB=FM，BFDF【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键8已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点.（1）如图1，若，猜想线段，之间的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，请直接写出线段的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再证矩形为正方形，由正方形性质可得；（2）过点作于点，于点，证四边形为正方形，再证，可得；（3）根据，可得.【详解】解：（1），四边形为矩形.是的角平分线，矩形为正方形，.（2）如图，过点作于点，于点，平分，四边形为正方形，由（1）得：，在和中，.（3），.，的长度为.【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.9如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示.(1)图中= ，= ，图中= .(2)当=1秒时，试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:(3)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=、5、.【解析】【分析】（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=22=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=20即可；（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出OM=AP=3，求出ON=MN-OM=5圆O的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，由勾股定理求出AF=6，得出AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；当点P在BC边上，A落在BC边上时，由折叠的性质得：AP=AP，证出APQ=AQP，得出AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA=6，得出AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】（1）点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=22=4，AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=104=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下： 当t=1时，PE=2，AP=AE+PE=4+2=6，四边形ABCD是矩形，A=90，PQ=，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，O为PQ的中点， OM是APQ的中位线，OM=AP=3，ON=MN-OM=5，以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，四边形ABCD是矩形，A=B=BCD=D=90，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，AF=6，AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=；当点P在BC边上，A落在BC边上时，连接AA，如图3所示：由折叠的性质得：AP=AP，APQ=APQ，ADBC，AQP=APQ，APQ=AQP，AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理得：BP=6， 又BP=2t-4，2t-4=6，解得：t=5；当点P在BC边上，A落在CD边上时，连接AP、AP，如图4所示：由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA=6，AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，AP2=22+（22-2t）2，82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.10在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OABC，记旋转角为：（1）如图，当45时，求BC与AB的交点D的坐标；（2）如图，当60时，求点B的坐标；（3）若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当45时，延长OA经过点B，在RtBAD中，OBC45，AB，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，证明OMCCNB，可得CNOM，BNCM3，即可得出点B的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC的中点，所以PKOC3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围【详解】解：（1）A（6，0）、C（0，6），O（0，0），四边形OABC是边长为6的正方形，当45时，如图，延长OA经过点B，OB6，OAOA6，OBC45，AB，BD（），CD6（）=，BC与AB的交点D的坐标为（，6）；（2）如图，过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，OCB90，OCM90BCNCBN，OCBC，OMCCNB90，OMCCNB（AAS），当60时，AOC90，OC6，COM30，CNOM，BNCM3，点B的坐标为；（3）如图，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，P为线段BC的中点，PKOC3，P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，AK3，AP最大值为，AP的最小值为，AP长的取值范围为.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹11(1)问题发现如图1,点E.F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90,点E.F分别在边BC、CD上,EAF=45，若B，D都不是直角，则当B与D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且DAE=45，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程。【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，证出AFGAFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，证出AFEAFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（3）把ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明AFEAFG（SAS），则EF=FG，C=ABF=45，BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断试题解析：(1)理由是：如图1，AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，如图1，ADC=B=90，FDG=180，点F. D. G共线，则DAG=BAE，AE=AG，FAG=FAD+GAD=FAD+BAE=9045=45=EAF，即EAF=FAG，在EAF和GAF中，AF=AF，EAF=GAF，AE=AG，AFGAFE(SAS)，EF=FG=BE+DF；(2)B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，如图2，BAE=DAG，BAD=90,EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F. D. G共线，在AFE和AFG中，AE=AG，FAE=FAG，AF=AF，AFEAFG(SAS)，EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案为：B+ADC=180；(3)BD2+CE2=DE2.理由是：把ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则FAB=CAE.BAC=90,DAE=45，BAD+CAE=45，又FAB=CAE，FAD=DAE=45，则在ADF和ADE中，AD=AD，FAD=DAE，AF=AE，ADFADE，DF=DE,C=ABF=45，BDF=90，BDF是直角三角形,BD2+BF2=DF2，BD2+CE2=DE2.12如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FGCD，交AE于点G，连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，1=2，由FGCD，可得1=3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在RtEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FGCD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在RtEFC中，即，解得：x=5，CE=8x=3，=考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题13如图，在菱形ABCD中，AB=6，ABC=60，AHBC于点H动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动过点E作EFAB，垂足为点F点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，EFG和AHC的重合部分面积为S（1）CE= （含t的代数式表示）（2）求点G落在线段AC上时t的值（3）当S0时，求S与t之间的函数关系式（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在EFG内部时t的取值范围【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当t2时，S=t2+t-3；当2t3时，S=-t2+t-；（4）t【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出ABC是等边三角形，得出ACB=60，由等边三角形的性质和三角函数得出GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，证出GEC=90，由三角函数求出CE=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当t2时，S=EFG的面积-NFN的面积，即可得出结果；当2t3时，由的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在EFG内部时，t的不等式，解不等式即可试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，四边形ABCD是菱形，BC=AB=6，CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：四边形ABCD是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC是等边三角形，ACB=60，EFG是等边三角形，GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，EFAB，BEF=90-60=30，GEB=90，GEC=90，CE=t，BE+CE=BC，2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：当t2时，如图2所示：S=EFG的面积-NFN的面积=（t）2-（-+2）2=t2+t-3，即S=t2+t-3；当2t3时，如图3所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即S=-t2+t-；（4）AH=ABsin60=6=3，32=，32=，t=时，点P与H重合，E与H重合，点P在EFG内部时，-（t-）2t-（2t-3）+（2t-3），解得：t；即点P在EFG内部时t的取值范围为：t考点：四边形综合题14已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而得AB=AF，因此当ABAF时，四边形AMCN是菱形试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ADBC四边形AECF是矩形，AECF四边形AMCN是平行四边形AMCN在RtABM和RtCDN中，ABCD，AMCN，RtABMRtCDN（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形四边形ABCD、AECF是矩形，BBADEAFF90BADNAMEAFNAM，即BAMFAN又ABAF，ABMAFNAMAN由（1）知四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形考点：1矩形的性质；2三角形全等的判定与性质；3菱形的判定15（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处（1）求矩形ABCD的边AD的长（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值；当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD3；（2）y=其中，0x3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及RtMPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQCD，根据RtNPQ的勾股定理进行求解；（4）根据RtADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折叠可知AMMP，在RtMPD中，y=其中，0x3.（3）当点N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3.PCN为等腰三角形，只可能NCNP过N点作NQCD，垂足为Q，在RtNPQ中，解得x=（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形设MPy，在RtADM中，即 y= S=考点：函数的性质、勾股定理.