2021年湖南省郴州市中考数学试卷（解析版）.docx

2021年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•郴州）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是　　

A． B． C． D．
2．（3分）（2021•郴州）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．（3分）（2021•郴州）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•郴州）下列说法正确的是　　
A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
6．（3分）（2021•郴州）已知二元一次方程组，则的值为　　
A．2 B．6 C． D．
7．（3分）（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为　　

A． B．
C． D．

8．（3分）（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形中，，点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是　　

A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•郴州）使有意义的的取值范围是 　　．
10．（3分）（2021•郴州）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是 　　．
11．（3分）（2021•郴州）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 　　分．
12．（3分）（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 　　度．
13．（3分）（2021•郴州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　．
14．（3分）（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段量得，则　　．

15．（3分）（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是 　　（结果用含的式子表示）．

16．（3分）（2021•郴州）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为 　　．

三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）（2021•郴州）计算：．
18．（6分）（2021•郴州）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2021•郴州）如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形．

20．（8分）（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　　度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．
21．（8分）（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）

22．（8分）（2021•郴州）“七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
（1）求，奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，，两种奖品共100件，求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？
23．（8分）（2021•郴州）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．

24．（10分）（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位元）之间有如下表所示关系：

4.0
5.0
5.5
6.5
7.5

8.0
6.0
5.0
3.0
1.0

（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元），
①写出关于的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的，则此时的销售单价应定为多少元？
25．（10分）（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时为等腰三角形？

26．（12分）（2021•郴州）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

2021年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•郴州）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：．，，，故项不符合题意；
．由数轴可知，故项符合题意；
．，，，故项不符合题意；
．，，，，故项不符合题意．
故选：．
2．（3分）（2021•郴州）下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意
．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：．
3．（3分）（2021•郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
4．（3分）（2021•郴州）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．，故选项不符合题意；
．，故选项不符合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不符合题意；
故选：．
5．（3分）（2021•郴州）下列说法正确的是　　
A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上
【解答】解：．明天下雨的概率为，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意；
．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；
．某彩票中奖概率是，买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，故本选项不符合题意；
．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故本选项不符合题意．
故选：．
6．（3分）（2021•郴州）已知二元一次方程组，则的值为　　
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：，
①②，得，
两边都除以3得：，
故选：．
7．（3分）（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：该组合体的俯视图如下：

故选：．
8．（3分）（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形中，，点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：过点作于点，如图所示：

边长为4的菱形，中，，
，
，
，，
当点从点运动到点时，过点作于点，

则，，，
，
的面积逐渐增大；
当在线段上时，
，
的面积保持不变；
当点在线段上时，如图，过点作交的延长线于点，

则，
则，，，
，
的面积逐渐减小．
故选：．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•郴州）使有意义的的取值范围是 　　．
【解答】解：使有意义，则且，
解得：．
故答案为：．
10．（3分）（2021•郴州）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是 　　．
【解答】解：比例函数图象上的每一条曲线上，随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
11．（3分）（2021•郴州）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 　89　分．
【解答】解：选手甲的最终得分为：（分．
故答案为：89．
12．（3分）（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 　720　度．
【解答】解：多边形的每一个外角都等于，
它的边数为：，
它的内角和：，
故答案为：720．
13．（3分）（2021•郴州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
14．（3分）（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段量得，则　1.2　．

【解答】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故答案为：1.2．
15．（3分）（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是那么这张扇形纸板的面积是 　　（结果用含的式子表示）．

【解答】解：这张扇形纸板的面积．
故答案为．
16．（3分）（2021•郴州）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为 　　．

【解答】解：过点作于点，过点作于点，

，
，
，，
，
由勾股定理得，
，
，
，
即点、、三点共线时，最小，
的最小值为的长，
，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）（2021•郴州）计算：．
【解答】解：原式

．
18．（6分）（2021•郴州）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：

，
当时，原式．
19．（6分）（2021•郴州）如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形．

【解答】证明：在和中，

，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
20．（8分）（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　200　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　　度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生（名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为（人，
补全图形如下：

（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数（人；
（4）列表如下：

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有2种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．
21．（8分）（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）

【解答】解：过作水平地面于，于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
斜坡米，坡度，
设米，则米，
，
，
（米，（米，
在中，，
是等腰直角三角形，
（米，
（米，
答：观光电梯的高度约为141.1米．

22．（8分）（2021•郴州）“七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
（1）求，奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，，两种奖品共100件，求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？
【解答】解：（1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：奖品的单价为40元，则奖品的单价为15元；
（2）设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的值为23，24，25，
有三种方案：
①购买种奖品23件，种奖品77件；
②购买种奖品24件，种奖品76件；
③购买种奖品25件，种奖品75件．
23．（8分）（2021•郴州）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．

【解答】（1）证明：连接，如图，
点是的中点，
，
，
，
直线与相切；
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
而，
为等腰直角三角形，
，
．

24．（10分）（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位元）之间有如下表所示关系：

4.0
5.0
5.5
6.5
7.5

8.0
6.0
5.0
3.0
1.0

（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象；

（2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元），
①写出关于的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的，则此时的销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）

（2）根据图象设，把和代入上式，
得，
解得，
，
，
，
解得，
关于的函数表达式为；
（3）①

，
即与的函数表达式为：；
②物价局限定商品的销售单价不得超过进价的，
，
即，
由题意得，
，
解得，，
，

此时销售单价为3元．
25．（10分）（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时为等腰三角形？

【解答】（1）证明：如图1，

由旋转得：，，
，
，
，
；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
，
，
；
②分两种情况：
如图3，时，

，
，
，
，

，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图4，当时，，

，，
，
，
当的长度为2时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或2时，为等腰三角形．
26．（12分）（2021•郴州）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，
抛物线，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）如图1，由（1）知：，
令，得，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当时，；
（3）①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图2，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，
，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，，
当时，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图3，设的中点为，
，，
，，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．

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日期：2021/9/13 17:16:08；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@；学号：36810736
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