2015年常州市中考数学试题及答案.doc

2015年江苏省常州市中考数学试卷

一、选择题（每小题2分，共16分）
1．－3的绝对值是
A．3　　B．－3　　C．　　D．－
2．要使分式有意义，则x的取值范围是
A．x＞2　　B．x＜2　　C．x≠－2　　D．x≠2
3．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是

A．　　B．　　C．　　D．
4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是

A．70°　　B．60°　　C．50°　　D．40°
5．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是

A．AO＝OD　　B．AO⊥OD　　C．AO＝OC　　D．AO⊥AB
6．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是
A．a＞b＞c　　B．c＞b＞a　　C．b＞a＞c　　D．a＞c＞b
7．已知二次函数y＝＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是
A．m＝－1　　B．m＝3　　C．m≤－1　　D．m≥－1
8．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是

A．cm2　　B．8cm2　　C．cm2　　D．16cm2
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．计算＝_________．
10．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．
11．分解因式：＝____________________________．
12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是______．

14．已知x＝2是关于x的方程＋x的解，则a的值是______________．
15．二次函数y＝－＋2x－3图像的顶点坐标是____________．
16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_______________．

17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4＝2＋2；　　　　　 12＝5＋7；
6＝3＋3；　　　　　 14＝3＋11＝7＋7；
8＝3＋5；　　　　 　16＝3＋13＝5＋11；
10＝3＋7＝5＋5　　　18＝5＋13＝7＋11；
…
通过这组等式，你发现的规律是________请用文字语言表达）．
18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_______________．

三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2．

20．（8分）解方程和不等式组：
⑴；　　　　　⑵

21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？
⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．

22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
⑴求甲第一个出场的概率；
⑵求甲比乙先出场的概率．

23．（8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
⑴求证：AE＝AF；
⑵求∠EAF的度数．

24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．

⑴求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？

25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．
⑴若AD＝2，求AB；
⑵若AB＋CD＝2＋2，求AB．

26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
⑴阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵　AE为直径　　∴　∠AHE＝90°　　∴　∠HAE＋∠HEA＝90°．
∵　DH⊥AE　　∴　∠ADH＝∠EDH＝90°
∴　∠HAD＋∠AHD＝90°
∴　∠AHD＝∠HED　　∴　△ADH∽_____________．
∴　，即＝AD×DE．
又∵　DE＝DC　　∴　＝____________，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

⑵操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
⑶解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
⑷拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

27．（10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
⑴写出点A的坐标；
⑵当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标如果不存在，请说明理由．
⑶若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值．

28．（10分）如图，反比例函数y＝的图像与一次函数y＝x的图像交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．
⑴若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

一、选择题（每小题2分，共16分）
1．﹣3的绝对值是（　　）
　 A．3 B． ﹣3 C． D．

考点： 绝对值．.
分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
解答： 解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．
故选：A．
点评： 考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（2分）（2015•常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
　 A．x＞2 B． x＜2 C． x≠﹣2 D． x≠2

考点： 分式有意义的条件．.
专题： 计算题．
分析： 根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
解答： 解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，
故选D．
点评： 此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．

3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．.
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4．（2分）（2015•常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）

　 A．70° B． 60° C． 50° D． 40°

考点： 平行线的性质；垂线．.
专题： 计算题．
分析： 由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．
解答： 解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=40°，
∴∠A=90°﹣∠B=50°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠A=50°，
故选C．
点评： 此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

5．（2分）（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）

　 A．AO=OD B． AO⊥OD C． AO=OC D． AO⊥AB

考点： 平行四边形的性质．.
分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
解答： 解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
点评： 本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．

6．（2分）（2015•常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）
　 A．a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞c＞b

考点： 实数大小比较．.
专题： 计算题．
分析： 将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
解答： 解：∵a==，b==，c==，且＜＜，
∴＞＞，即a＞b＞c，
故选A．
点评： 此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．

7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）
　 A．m=﹣1 B． m=3 C． m≤﹣1 D． m≥﹣1

考点： 二次函数的性质．.
分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．

8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　）

　 A．cm2 B． 8cm2 C． cm2 D． 16cm2

考点： 翻折变换（折叠问题）．.
分析： 当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
解答： 解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．

点评： 本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．

二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=　1　．

考点： 负整数指数幂；零指数幂．.
分析： 分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：（π﹣1）0+2﹣1
=1+
=1．
故答案为：1．
点评： 本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　6.96×105　．

考点： 科学记数法—表示较大的数．.
专题： 应用题．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．
解答： 解：696 000=6.96×105．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2=　2（x+y）（x﹣y）　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．.
分析： 先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答： 解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　27π　．

考点： 扇形面积的计算．.
分析： 利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
解答： 解：设扇形的半径为r．
则=6π，
解得r=9，
∴扇形的面积==27π．
故答案为：27π．
点评： 此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．

13．（2分）（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　6　．

考点： 相似三角形的判定与性质．.
分析： 由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得BC=6．
故答案为：6．
点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．

14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是　　．

考点： 一元一次方程的解．.
专题： 计算题．
分析： 把x=2代入方程计算即可求出a的值．
解答： 解：把x=2代入方程得：3a=a+2，
解得：a=．
故答案为：．
点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　（1，﹣2）　．

考点： 二次函数的性质．.
分析： 此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
解答： 解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x+1）﹣2
=﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
点评： 本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．

16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　（400，800）　．

考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．.
分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．
解答： 解：连接AC，
由题意可得：AB=300m，BC=400m，
在△AOD和△ACB中
∵，
∴△AOD≌△ACB（SAS），
∴∠CAB=∠OAD，
∵B、O在一条直线上，
∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，
∴C点坐标为：（400，800）．
故答案为：（400，800）．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．

17．（2分）（2015•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2；　　　　　 12=5+7；
6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7；
8=3+5；　　　　 　16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．

考点： 规律型：数字的变化类．.
分析： 根据以上等式得出规律进行解答即可．
解答： 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，
故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
点评： 此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．

18．（2分）（2015•常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．.
分析： 过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
解答： 解：
过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中

∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC==，
故答案为：．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）（2015•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．

考点： 整式的混合运算—化简求值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，
当x=2时，原式=8+1=9．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：
（1）；　　　　　
（2）．

考点： 解分式方程；解一元一次不等式组．.
专题： 计算题．
分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．
解答： 解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
点评： 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．

考点： 频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．.
分析： （1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
解答： 解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（2）1.5小时的人数为：500×2.4=120（人）
如图所示：
（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．
点评： 此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．

22．（8分）（2015•常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．

考点： 列表法与树状图法．.
专题： 计算题．
分析： （1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；
（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，
则P（甲第一个出场）==；
（2）甲比乙先出场的情况有3种，
则P（甲比乙先出场）==．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分）（2015•常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．.
分析： （1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．

（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？

考点： 一次函数的应用．.
分析： （1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；
（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
解答： 解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，

∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴（5﹣3）n+9=12.6，
解得：n=1.8．
∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．
（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
点评： 本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键

25．（8分）（2015•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．

考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．.
分析： （1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；
（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．
解答： 解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；

（2）设DE=x，则AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1

点评： 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．

26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　△HDE　．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2=　AD×DC　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　矩形　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

考点： 相似形综合题．.
分析： （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．
（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．
（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．
解答： 解：（1）如图①，连接AH，EH，，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，，
∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，
∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DM，
∴DH2=AD×DM，
即正方形DFGH与矩形ABMN等积，
∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，，
∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，
∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，
∵ME为直径，
∴∠MHE=90°，
∴∠HME+∠HEM=90°．
∵DH⊥ME，
∴∠MDH=∠EDH=90°，
∴∠HMD+∠MHD=90°，
∴∠MHD=∠HED，
∴△MDH∽△HDE．
∴，
即DH2=MD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=MD×DC，
∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，，
△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵AG∥EH，
∴，
∴AG=2EH，
又∵CF=2DF，
∴CF•EH=DF•AG，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S△CDI=S△AEI，
∴S△BCE=S四边形ABCD，
即△BCE与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．
点评： （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．

27．（10分）（2015•常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
（1）写出点A的坐标；
（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．

考点： 圆的综合题．.
分析： （1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；
（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；
（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．
解答： 解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，
所以点A的坐标为（4，0）；
（2）存在．
理由：如图下图所示：

将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，
∴OB=4，
由（1）可知OA=4，
在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．
∵△BOQ≌△AQP．
∴QA=OB=4，BQ=PA．