【中考数学】备战专题练习(2019全国通用版)-余角和补角(含解析).docx

备战中考数学专题练习（2019全国通用版）-余角和补角（含解析）
一、单选题
1.如图所示，用量角器度量一些角的度数。下列结论中正确的是（    ）

A. ∠BOC=60°          [**#@~#%^&&*#@^ASW!~]
B. ∠COD=150°         
C.  ∠AOC与∠BOD的大小相等         
D. ∠AOC与∠BOD互余
2.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于点H,EF⊥AB于点F，则下列结论中，不正确的是（     ）

A. ACD=B                        B. CH=CE=EF                        C. AC=AF                        D. CH=HD
3.如图所示，点O为直线AB上一点∠AOC=∠DOE=90°，那么图中互余角的对数为（　　）

A. 2对                                       B. 3对                                       C. 4对                                       D. 5对
4.如果∠α=n°，而∠α既有余角，也有补角，那么n的取值范围是   )
A. 90°                           D. 140°
6.已知OA⊥OC,且∠AOB∶∠AOC=2∶3,则∠BOC的度数是(   )
A. 30 °                               B. 150°                               C. 30°或150°                               D. 不能确定
7.如图，点A位于点O的（  ）方向上．

A. 西偏东35°                         B. 北偏西65°                         C. 南偏东65°                         D. 南偏西65°
8.∠α的余角为65°，则∠α的度数为（   ）
A. 35°                                       B. 25°                                       C. 45°                                       D. 65°
9.9时30分钟的时针与分针所成的角度是（　　）
A. 75°                                     B. 90°                                     C. 105°                                     D. 120°
二、填空题
10.如果∠A=30°，则∠A的余角是________度；如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2与∠3的大小关系是________．
11.下午2点30分时，时钟的分针与时针夹角的度数为________。 [*#@~%^~&*#@A@S*#^W!]
12.一个角的补角比它的余角的3倍还多10°，则这个角的度数为___．
13.一个角是20°10′，则它的余角是________ 
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B=________ 
15.如果∠A=36°18′，那么∠A的余角为________ 
16.如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1=70°，则∠2=________．
17.已知∠α=47°30′，则∠α的余角的度数为________°．
18.若∠α比60°角的补角的大35°，则∠α的余角为________ °．
19.若∠α=35°19′，则∠α的余角的大小为________．
三解答题
20.（1）先化简，再求值：3x2﹣（2x2﹣xy+y2）+（﹣x2+3xy+2y2），其中x=﹣2，y=3．
（2）一个角比它的余角大20°，求这个角的补角度数．
21.如图，在△ABC中，∠B 90°，AB 4，BC 2，以AC为边作△ACE，∠ACE 90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD 5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．

四、综合题
22.数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE=30°时，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
23.若点O为直线AB上一点，OC为射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

（1）若∠BOC=50°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOC是任意角 （ ，（1）中的结论是否还成立，请说明理由，由此发现什么规律？
24.如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角．

（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的． [*%#@~%#^&@~&*#@ASW!]
（2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论．

答案
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】根据量角器的位置得出∠BOC=120°，∠COD=90°，∠AOC=60°，∠BOD=30°，
所以∠AOC+∠BOD=90°即∠AOC与∠BOD互余.
故答案为：D.
【分析】根据量角器的位置得出∠BOC、∠COD、∠AOC、∠BOD的度数，再根据角的大小比较和互余角的含义得出结论。
2.【答案】D
【解析】 [*@*~%&^&*#@AS@#W!%]
【分析】根据角平分线求出CE=EF，∠CAE=∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠B=∠ACD，根据三角形外角性质求出∠CHE=∠CEH，根据等腰三角形性质推出CH=CE，根据勾股定理求出AC=AF，即可得出选项．
【解答】A、∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B，正确，故本选项错误；
B、∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EF⊥AB，
∴CE=EF，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠B=∠ACD， [*#@*~#%^^&#@@ASW!]
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAE，
即∠CHE=∠CEH，
∴CH=CE=EF，正确，故本选项错误；
C、CH=EF＞HD，错误，故本选项正确；
D、在Rt△ACE和Rt△AFE中，AE=AE，CE=EF，由勾股定理得：AC=AF，正确，故本选项错误；
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，角平分线性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3.【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠COD=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∠COD+∠COE=90°，∠COE+∠BOE=90°．
∴互余角的对数共有4对．
故选C．
【分析】根据余角的和等于90°，结合图形找出构成直角的两个角，然后再计算对数．
4.【答案】B
【解析】【解答】由题意，可知，
解得0比较容易解决．
6.【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
【解答】
[*@#@~%^&*#@^%&A~SW!]
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故选C．
【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形
7.【答案】B [*#@#~%^~&*&#@AS@W!*]
【解析】【解答】解：A在点O的北偏西65°．
故答案为：B．
【分析】方向角:指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。观察图形即可得出答案。 [*#@~%^*&&*#^%@A@SW!]
8.【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠α的余角为65°， ∴∠α=90°﹣65°=25°．
故选：B．
【分析】根据互余的定义列出关于∠α的算式，然后计算即可．
9.【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得，9时30分，钟表的时针与分针所夹的角度为：3.5×30=105°，
故选：C．
【分析】表盘有12个大格，共360°，则每一个大格为30°，当9时30分时，钟表的时针在9时与10时的中间，分针在6时处，共3.5个大格，列式求解即可．
二、填空题
10.【答案】60；相等（或∠2=∠3）．
【解析】【解答】∵∠A=30°，
∠A的余角=90°-30°=60°；
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
【分析】根据同角的余角相等，得到∠2=∠3．
11.【答案】105°
【解析】【解答】∵时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上下午2点30分时，时针与分针的夹角可以看成时针转过2时0．5°×30=15°，分针在数字6上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴下午2点30分时分针与时针的夹角4×30°-15°=105°．
【分析】首先画出钟面示意图，标出下午2点30分时，时钟的分针与时针的位置，由于时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°钟表上下午2点30分时，时针与分针的夹角可以看成时针转过2时0．5°×30=15°，分针在数字6上．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，从而就可以根据4×30°-15°算出时钟的分针与时针夹角的度数
12.【答案】50°
【解析】【解答】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，
根据题意得，180°﹣α=3（90°﹣α）+10°，
180°﹣α=270°﹣3α+10°， [*^#@%~%^&*#@AS#*W~!]
解得α=50°．
故答案为：50°．
【分析】由补角与余角关系建立方程即可.
13.【答案】69°50′
【解析】【解答】解：根据定义一个角是20°10′，则它的余角度数是90°﹣20°10′=69°50′．
【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．
14.【答案】25°
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=65°， [*~#@~#%&^&*#@ASW!%*]
∴∠B=90°﹣65°=25°．
故答案为：25°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
15.【答案】53°42′
【解析】【解答】解：∠A的余角=90°﹣∠A=90°﹣36°18′=89°60′﹣36°18′=53°42′；
故答案为：53°42′．
【分析】根据余角的定义容易求出∠A的余角=90°﹣∠A=53°42′．
16.【答案】20°
【解析】【解答】解：如图，三角板的直角顶点在直线l上， 则∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠1=70°，
∴∠2=20°． [*#&@~%^%^&~*##@ASW!]
故答案为20°．
【分析】由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，又∠1=70°，即可求得∠2的度数．
17.【答案】42.5
【解析】【解答】解：∵90°﹣47°30′=42°30′=42.5°，
∴∠α的余角的度数为42.5°，
故答案为：42.5．
【分析】根据两个角的和为90°，则这两个角互余计算即可．
18.【答案】25
【解析】【解答】解：由题意可得：∠α﹣（180°﹣60°）=35°，
解得：∠α=65°， [*#@~%^&*#@A&*S~#@W!]
故∠α的余角为：25°．
故答案为：25． [*#@~~%^&*#&@ASW!*@^]
【分析】根据题意结合互为补角的定义得出关于∠α的等式，进而求出答案．　
19.【答案】54°41′ [*#@%~@%^&*#@&~^ASW!]
【解析】【解答】解：∵∠α=35°19′， ∴∠α的余角为：90°﹣35°19′=54°41′．
故答案为：54°41′． [*^&~#@@~%^&**#@ASW!]
【分析】直接利用互余的定义结合度分秒的转化得出答案．
三、解答题
20.【答案】解：（1）3x2﹣（2x2﹣xy+y2）+（﹣x2+3xy+2y2）
=3x2﹣2x2+xy﹣y2﹣x2+3xy+2y2 ，
=4xy+y2 ，
将x=﹣2，y=3代入得， [*#@&~%^%&#*#^@ASW~!]
原式=4xy+y2=﹣15；
（2）设这个角为x，则它的余角为：（90°﹣x），
故x﹣（90°﹣x）=20°，
解得：x=55°，
故这个角为55度，
则这个角的补角为125度．
【解析】【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，进而将已知数据代入求出答案；
（2）根据余角的定义结合已知得出这个角的度数，进而求出补角的度数．
21.【答案】解：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ .
∵ CE=AC，
∴ .
∵ CD=5，
∴ .     
∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，
∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.
∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC∽△CED.
【解析】【分析】抓住已知条件，利用勾股定理求出AC的长，再根据 CE=AC，求出CE的长，得出两组对应边成比例，然后再证明 ∠BAC=∠DCE，即可证得结论。
四、综合题
22.【答案】（1）解：∠ACB+∠DCE=180°； 若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE=180°，
理由如下：∵∠ACE+∠DCE=90°，
∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=90°+90°=180° [*#@~%^*&*#@A%S~^#W!]
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°． 理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°
【解析】【分析】（1）当∠DCE=30°时，利用互余计算出∠BCD，然后可得到∠ACB+∠DCE的度数；若∠DCE为任意锐角时，利用∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，然后计算出∠ACB+∠DCE=180°2）利用周角定义得到∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°所以∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=180°．
23.【答案】（1）解：∵∠BOC=50

∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC [*#@&~#%^~&**#@@ASW!]

（2）解：

∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC
，
= = .
【解析】【分析】根据邻补角的性质得到邻补角的角平分线互相垂直.
24.【答案】（1）解：∠AOD与∠COB互补．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°，                               [*#*@%~%^&*#@ASW#!~^]
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，
∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，
∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB， [*#@#~%@^&&*#@AS~W!*]
∴∠AOD+∠COB=180°， [*#&@~%~^@&**#@AS^W!]
∴∠AOD与∠COB互补
（2）解：成立．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°， [*&#@~%%^^~&*##@ASW!]
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°， [*^##@~~%^%&*#*@ASW!]
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴∠AOD与∠COB互补
【解析】【分析】（1）∠AOD与∠COB互补．理由如下：根据直角的定义得出∠AOB=∠COD=90°，根据等式的性质得出∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，从而得出∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB，进而得出∠AOD+∠COB=180°，故得出结论∠AOD与∠COB互补；
(2)当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立:根据垂直的定义及周角的定义得出∠AOB=∠COD=90°，∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，从而得出∠AOD+∠COB=180°，得出结论∠AOD与∠COB互补。