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2017年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）2017的相反数是　 　．
2．（4分）如图所示，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝130°，则∠2＝　 　．

3．（4分）分解因式：a2﹣3a＝　 　．
4．（4分）2016年12月18日张吉怀高铁开工，全程约246000m，高铁开通后，将进一步加快三地之间的交流，促进经济发展．其中246000用科学记数法表示为　 　．
5．（4分）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝　 　

6．（4分）使得代数式有意义的x的取值范围是　 　．
7．（4分）掷两枚质地均匀的相同硬币，出现两枚都是正面朝上的概率为　 　．
8．（4分）用科学计算器按如图所示的操作步骤，若输入的数值是3，则输出的值为　 　（精确到0.1）

二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的字母填在括号里）
9．（4分）下列运算中错误的是（　　）
A．3x2﹣2x2＝x2 B．a2•a3＝a5
C．+＝ D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
10．（4分）习总书记提出“足球进校园”后，我们湘西自治州积极响应号召，把颠足球纳入了九年级体育达标测试．在今年5月份体育达标测试中，某小组7名同学的颠足球个数如下：60，57，102，75，36，60，42，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．60，57 B．57，60 C．60，75 D．60，60
11．（4分）已知点P（2，3），则点P关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
12．（4分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（4分）已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边可能是（　　）
A．2 B．7 C．10 D．12
14．（4分）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2﹣4x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+4＝0 D．3x2﹣5x+8＝0
15．（4分）反比例函数y＝（k＞0），当x＜0时，图象在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．（4分）一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体上，与“爱”相对面上的汉字是（　　）

A．美 B．丽 C．湘 D．西
17．（4分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（　　）

A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
18．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，则下列6个代数式：ac，abc，2a+b，a+b+c，4a﹣2b+c，b2﹣4ac，其中值大于0的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）计算：（﹣1）2017+（π﹣3.14）0﹣2cos60°+
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

21．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

22．（8分）如图所示，一次函数y1＝x+b（b为常数）的图象与反比例函数y2＝的图象都经过点A（2，m）．
（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时y1＜y2．

23．（8分）为了深化教育改革，某校计划开设四个课外兴趣活动小组：音乐、体育、美术、舞蹈，学校要求每名学生都自主选择其中一个兴趣活动小组，为此学校采取随机抽样的方式进行了问卷调查，对调查结果进行统计并绘制了如下统计表．
选择课程
音乐
体育
美术
舞蹈
所占百分比
a
30%
b
c
根据以上统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为　 　人；其中a＝　 　%；b＝　 　%；c＝　 　%；
（2）请把条形图补充完整；
（3）若该校共有学生1000名，请估计该校选择“美术”的学生有多少人．

24．（8分）某校为创建“书香校园”，现有图书5600册，计划创建大小图书角共30个．其中每个小图书角需图书160册，大图书角所需图书比小图书角的2倍少80册．问该校创建的大小图书角各多少个？
25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）
（1）求b的值及点B的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时，点Q随之停止运动），设运动时间为t秒，当t为何值时△PBQ与△ABC相似？

26．（22分）如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接AE．
（1）求证：∠CAB＝∠CAD；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AE＝5，求线段PC的长．

2017年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：2017的相反数是﹣2017，
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．【分析】因为a∥b，所以∠3＝∠2，又因为∠3＝180﹣∠1，所以可求出∠3，也就求出了∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠2，
又∵∠3＝180﹣∠1＝180°﹣130°＝50°，
∴∠2＝50°．
故答案为：50°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到利用平行线的性质，从而得到角之间的数量关系，达到解决问题的目的．
3．【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将246000用科学记数法表示为2.46×105．
故答案为：2.46×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】直接利用垂径定理结合勾股定理得出BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵直径CD⊥弦AB，AB＝6，OE＝4，
∴BE＝3，
则BO＝＝＝5，
故直径CD＝10．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确得出BO的长是解题关键．
6．【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
7．【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正4种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占1种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P＝．
8．【分析】直接利用公式把数据代入，再利用估算无理数的大小的方法得出答案．
【解答】解：由题意可得：≈1.2．
故答案为：1.2．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确运用计算公式代入数据是解题关键．
二选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的字母填在括号里）
9．【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式等式知识分别判断得出答案．
【解答】解：A、3x2﹣2x2＝x2，正确，不合题意；
B、a2•a3＝a5，正确，不合题意；
C、+，无法计算，故此选项符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的乘法运算、完全平方公式等式知识，正确掌握运算法则是解题关键．
10．【分析】首先把所给数据按从小到大排序，然后利用中位数和众数定义即可确定结果．
【解答】解：把已知数据按从小到大排序后为：36，42，57，60，60，75，102，
这组数据中60出现的次数最多，故众数是60，
中位数是：60．
故选：D．
【点评】此题考查中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
11．【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据这一规律就可以得到．
【解答】解：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知：点P关于x轴对称点的坐标为（2，﹣3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，不合题意；
B、不是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：根据题意可得，设第三边长为x，则第三边长的取值范围是：2＜x＜10，
只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．
14．【分析】分别计算出四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：A、△＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故本选项正确；
B、△＝22﹣4×1×1＝0，则方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、△＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，则方程没有实数根，故本选项错误；
D、△＝（﹣5）2﹣4×3×8＝﹣71＜0，则方程没有实数根，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．【分析】直接利用反比例函数图象分布规律进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0），
∴图象分布在第一、三象限，
∵x＜0，
∴图象在第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质正确记忆图象分布规律是解题关键．
16．【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是“湘”．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
17．【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．
18．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＞0，故正确；
∵对称轴为0＜﹣＜1，
∴b＜0，﹣b＜2a，
2a+b＞0，故此选项正确，
则abc＜0，故此选项错误；
∵抛物线与x轴的交点可以看出，
当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故此选项错误；
∵x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故正确，
综上所述，值大于0的个数为4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2×+3
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①得x≤4，
解不等式②得x＞1，
故不等式的解集为1＜x≤4．
把解集在数轴上表示出来为：

【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要考查学生的计算能力．

21．【分析】（1））由AE⊥BD，CF⊥BD，根据垂直的定义得到∠AEB＝∠DFC，和已知AE＝CF，BF＝DE，推出△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，进一步推出AB∥CD，根据平行四边形的判定即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了对平行四边形的性质和判定，垂线，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出AB＝CD和AB＝CD是证此题的关键．题型较好．
22．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）写出在第一象限，一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可；
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象都经过点A（2，m）．
∴m＝1，
∴A（2，1），
把A（2，1）代入y1＝x+b，得到b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．

（2）观察图象可知，在第一象限内，当0＜x＜2，y1＜y2
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
23．【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以解答本题；
（2）根据统计图中的数据可以求得美术兴趣小组的人数，从而可以将统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校选择“美术”的学生的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
本次调查的总人数为：30÷30%＝100，a＝20÷100×100%＝20%，b＝（100﹣20﹣30﹣10）÷100×100%＝40%，c＝10÷100×100%＝10%，
故答案为：100，20，40，10；
（2）美术兴趣小组的人数为：100﹣20﹣30﹣10＝40，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×40%＝400，
答：该校共有学生1000名，该校选择“美术”的学生有400人．

【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．【分析】直接利用题意设创建小图书角x个，则创建大图书角（30﹣x）个，进而表示出总的用书量，即可得出等式求出答案．
【解答】解：设创建小图书角x个，则创建大图书角（30﹣x）个，根据题意可得：
160x+（30﹣x）×（2×160﹣80）＝5600，
解得：x＝20，
则30﹣20＝10，
答：创建小图书角20个，则创建大图书角10个．
【点评此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
25．【分析】（1）把A点坐标代入y＝﹣x2+bx+可得到b＝﹣，从而得到抛物线解析式，然后解方程﹣x2﹣x+＝0可确定B点坐标；
（2）先确定C（0，），再利用两点间的距离公式分别计算AC、BC和AB的长，然后利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°；
（3）先表示出AP＝t（0≤t≤2），BQ＝t，BC＝2，BP＝4﹣2t，由于∠QBP＝∠CBA，利用相似三角形的判定方法，当＝时，△BQP∽△BCA，即＝；当＝，△BQP∽△BAC，即＝，然后分别解关于t的方程即可．
【解答】解：（1）把A（﹣30）代入y＝﹣x2+bx+得﹣×9﹣3b+＝0，解得b＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+，
当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B点坐标为（1，0）；
（2）△ABC为直角三角形．
理由如下：
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+＝，则C（0，），
∵AC2＝32+（）2＝12，BC2＝12+（）2＝4，AB2＝16，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°；
（3）AP＝t（0≤t≤2），BQ＝t，BC＝2，BP＝4﹣2t，
∵∠QBP＝∠CBA，
∴当＝时，△BQP∽△BCA，
即＝，解得t＝1；
当＝，△BQP∽△BAC，
即＝，解得t＝，
综上所述，t的值为1或时，△PBQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定方法和勾股定理的逆定理；会通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
26．【分析】（1）由切线得：OC⊥PC，再得平行，由同圆的半径相等：OA＝OC，根据等边对等角可得结论；
（2）证明∠PFC＝∠PCF，根据等角对等边可得结论；
（3）根据三角函数的比设未知数，利用勾股定理列方程可得结论．
【解答】（1）证明：∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵∠BCP+∠OCB＝∠BCP+∠OBC＝∠BAC+∠OBC＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，
∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；

（3）解：∵＝，
∴AE＝BE＝5，
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°
AB＝BE＝10，
∴OB＝OC＝5，
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
设PB＝2x，则PC＝3x，
在Rt△POC中，（2x+5）2＝（3x）2+52，
解得x1＝0（舍），x2＝4，
∵x＞0，
∴x＝4，
∴PC＝3x＝3×4＝12．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过三角函数的比设未知数，表示线段的长，利用垂直构造直角三角形，根据勾股定理列方程解决有关问题．
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